Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, tiré de l'épreuve de Spécialité Mathématiques du Bac 2021 (Métropole, Sujet 1), aborde des concepts classiques de la terminale appliqués à un contexte médical vétérinaire (dépistage de la leucose féline).

1. Modélisation par les probabilités conditionnelles

La première partie exige une maîtrise parfaite de la construction d'un arbre pondéré. Les élèves doivent identifier les événements (maladie $M$, test positif $T$) et leurs contraires. Les compétences clés incluent :

• L'interprétation des données de l'énoncé en termes de probabilités conditionnelles ($P_M(T)$, etc.).
• L'utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement global (ici, avoir un test positif).
• Le calcul d'une probabilité conditionnelle inverse (probabilité d'être malade sachant que le test est positif), application directe de la formule de Bayes via la définition $P_T(M) = P(M \cap T) / P(T)$.

2. Loi Binomiale et échantillonnage

La seconde partie bascule sur l'étude d'un échantillon, introduisant une variable aléatoire $X$. Pour réussir, il faut :

• Justifier l'utilisation de la loi binomiale en identifiant une épreuve de Bernoulli répétée de manière identique et indépendante (tirage avec remise).
• Préciser les paramètres $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (succès).
• Calculer des probabilités ponctuelles $P(X=k)$ et cumulées $P(X \le k)$ ou $P(X \ge k)$ à l'aide de la calculatrice.
• Calculer et interpréter l'espérance mathématique dans le contexte concret (nombre moyen de chats positifs).

3. Algorithmique et seuil

La dernière partie mêle probabilités et algorithmique. Elle demande de modéliser la probabilité d'obtenir « au moins un » succès ($1 - P(X=0)$) en fonction de la taille de l'échantillon $n$. L'analyse du script Python requiert de comprendre la structure d'une boucle while pour déterminer un seuil : il s'agit de trouver la plus petite valeur de $n$ permettant de dépasser une certaine probabilité (0,99). La résolution peut se faire par tâtonnement, table de valeurs ou résolution d'inéquation logarithmique.