Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques (Bac 2021) propose une étude classique mais complète autour de la fonction exponentielle. Il mobilise plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale, structurées en trois parties distinctes.

1. Analyse de la position relative de deux courbes

La première partie demande de maîtriser la résolution d'équations faisant intervenir des exponentielles. La clé réside ici dans la factorisation par le terme non nul $\text{e}^{-x}$ pour se ramener à une équation polynomiale simple ($x^2 = 1$). Pour l'étude de la position relative, il est essentiel de savoir étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$. L'élève doit être capable de dresser un tableau de signes pour conclure sur les intervalles où une courbe est au-dessus de l'autre.

2. Optimisation et dérivation

La deuxième partie introduit une fonction distance $d(x)$. C'est une application concrète de la dérivation pour résoudre un problème d'optimisation. Les points clés pour réussir cette section sont :

• Le calcul rigoureux de la dérivée d'une fonction de la forme $u(x)\text{e}^{-x}$, nécessitant l'utilisation de la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• L'étude du signe de la dérivée $d'(x)$ qui dépendra ici du signe d'un trinôme du second degré, l'exponentielle étant strictement positive.
• L'interprétation du tableau de variations pour identifier le maximum global sur l'intervalle donné.

3. Intersection et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

La dernière question est indépendante et fait appel au Théorème des Valeurs Intermédiaires (ou son corollaire pour les fonctions strictement monotones). L'objectif est de déterminer le nombre de points d'intersection entre une droite et une courbe. Pour cela, l'élève doit transformer le problème géométrique en l'étude des racines d'une fonction auxiliaire $h(x)$. Une étude précise des variations de $h$, complétée par le calcul des limites (ou des images aux bornes), est indispensable pour justifier l'existence et l'unicité des solutions.