Compétences et clés de réussite
L'exercice 3 de ce sujet de Baccalauréat de mathématiques pose un cadre d'étude classique qui fait le pont entre l'analyse de fonctions, avec notamment la fonction exponentielle, et l'étude poussée des suites définies par une intégrale. Cette configuration est particulièrement intéressante pour les candidats car elle mobilise une large palette d'outils analytiques du programme de Terminale.
Dans la Partie A, l'élève est amené à réaliser une étude de fonction standard mais fondamentale. Il s'agit de s'intéresser au cas particulier d'une famille de fonctions, ce qui exige de la rigueur dans le calcul de la fonction dérivée. L'application des règles de dérivation sur un produit incluant l'exponentielle est au cœur de cette étape. À l'issue du calcul, l'étude du signe de la dérivée permet de déduire le tableau de variations. Ensuite, l'exercice requiert d'invoquer le théorème des valeurs intermédiaires (ou son corollaire pour les fonctions strictement monotones) afin de justifier l'existence et l'unicité d'une solution pour une équation donnée, une compétence absolue à maîtriser pour l'examen du Bac.
La Partie B élève le niveau en introduisant une suite d'intégrales. Cette notion peut parfois intimider mais repose sur des principes logiques forts. L'élève doit tout d'abord jongler avec les inégalités et l'intégration pour prouver la monotonie de la suite. Cela demande de bien comprendre l'ordre de grandeur de xn sur l'intervalle [0 ; 1] et les propriétés de positivité et de conservation de l'ordre par l'intégrale. Une fois la monotonie et la minoration établies, le candidat peut conclure sur la convergence de la suite en appliquant le théorème de la limite monotone.
Le véritable défi technique réside ensuite dans l'utilisation de l'intégration par parties pour trouver une relation de récurrence liant les termes de la suite. Il s'agit d'une compétence calculatoire décisive qui nécessite d'identifier astucieusement les fonctions à dériver et à intégrer. Une fois cette relation démontrée, elle ouvre la voie à l'algorithmique. Un script Python incomplet est proposé ; il faut le compléter en traduisant mathématiquement la relation de récurrence obtenue précédemment. Cela teste la capacité du candidat à lire, comprendre et modifier un code itératif simple impliquant une boucle for, une attente désormais incontournable.
Enfin, l'exercice se clôture par un travail de majoration délicat, souvent appelé majoration grossière, qui permet d'utiliser le théorème des gendarmes pour déterminer la limite de la suite d'intégrales.
Pour exceller sur ce type de problème, il est recommandé aux élèves de s'entraîner régulièrement sur les calculs de dérivées impliquant la fonction exponentielle, de revoir avec attention les conditions d'application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, et de maîtriser la rédaction de l'intégration par parties, avec le choix judicieux des primitives et dérivées. De plus, l'algorithmique ne doit pas être délaissée : comprendre le fonctionnement des boucles bornées en langage Python et l'initialisation des variables est indispensable pour garantir tous les points sur ces questions transversales de plus en plus fréquentes au baccalauréat de mathématiques. Ce sujet est donc un condensé idéal pour réviser efficacement les notions majeures du programme d'analyse.