Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2023 (Polynésie, Sujet 1) est un classique de l'épreuve, combinant l'analyse de suites numériques et l'étude de fonctions logarithmiques. Il est structuré en trois parties distinctes mais interdépendantes, demandant une bonne maîtrise des outils d'analyse et de logique mathématique.

1. Maîtrise des suites et du raisonnement par récurrence

La première partie de l'exercice se concentre sur une suite définie par une relation de récurrence affine ($u_{n+1} = a u_n + b$). L'élève doit ici démontrer sa capacité à mener un raisonnement par récurrence rigoureux. Les points clés incluent :

• L'initialisation et l'hérédité pour prouver la formule explicite de la suite.
• L'étude des variations de la suite (ici décroissante).
• La détermination de la limite, en utilisant les propriétés des suites géométriques (puisque $0,9^n$ tend vers 0).

Il est également demandé de justifier un encadrement de la suite, ce qui sert de prérequis pour définir la fonction logarithme dans la partie suivante.

2. Étude de fonction et Logarithme Népérien

La deuxième partie introduit une fonction $g(x)$ faisant intervenir le logarithme népérien sur un intervalle précis. Les compétences évaluées sont :

• Le calcul de dérivées composées, notamment celle de la forme $\ln(u)$.
• L'étude du signe de la dérivée pour établir le tableau de variations.
• Le calcul de limites aux bornes, nécessitant une attention particulière aux formes indéterminées ou aux asymptotes verticales.
• L'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), ou plus précisément son corollaire pour les fonctions strictement monotones, afin de démontrer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $g(x)=0$.

3. Synthèse : Lien Suites-Fonctions

La dernière partie est la plus subtile car elle relie les deux univers. Elle introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par un logarithme. L'élève doit :

• Utiliser les propriétés algébriques du logarithme ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$) pour prouver que la suite est arithmétique.
• Comprendre la relation logique entre l'égalité de deux suites et les zéros de la fonction étudiée précédemment.
• Faire preuve de logique déductive pour conclure sur l'inexistence de solutions communes, en utilisant les résultats sur la décroissance stricte de la suite et la valeur unique $\alpha$.

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de ne pas compartimenter les savoirs : les résultats de la partie fonctionnelle éclairent le comportement asymptotique et les propriétés des suites étudiées.