Compétences et clés de réussite
Cet exercice du Baccalauréat de mathématiques (Nouvelle-Calédonie 2025, Sujet 2) aborde l'étude approfondie d'une fonction comportant un logarithme népérien et son application remarquable dans un problème d'optimisation géométrique. Il mobilise des compétences incontournables et classiques du programme de terminale en analyse. Pour appréhender ce sujet avec sérénité, plusieurs savoir-faire mathématiques doivent être parfaitement maîtrisés par le candidat.
1. Maîtrise des limites, croissances comparées et asymptotes
La première étape de l'exercice consiste à déterminer les limites de la fonction étudiée aux bornes de son domaine de définition, c'est-à-dire en $0$ et en $+\infty$. Il est indispensable de bien connaître les limites de référence et, surtout, le théorème des croissances comparées en l'infini pour lever rapidement et rigoureusement les éventuelles formes indéterminées causées par le quotient d'un logarithme et d'un polynôme. Par ailleurs, la traduction graphique de ces calculs est évaluée : la compréhension du lien intrinsèque entre une limite (qu'elle soit infinie en une valeur finie, ou finie en l'infini) et la présence d'une asymptote verticale ou horizontale à la courbe représentative est une compétence clé exigée le jour de l'épreuve.
2. Calcul de la dérivée et étude complète des variations
Le calcul de la fonction dérivée requiert une grande rigueur algébrique et une parfaite maîtrise des formules de dérivation de base. En particulier, la formule de dérivation d'un quotient de la forme $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ est au centre des opérations, couplée à la dérivée usuelle du logarithme népérien. Une fois l'expression de la dérivée obtenue, il faut savoir la simplifier et en étudier le signe. Ce signe permet ensuite de construire le tableau de variations, véritable clé de voûte de l'exercice, qui synthétise visuellement le comportement de la fonction et permet de s'assurer de la cohérence globale des résultats avec les limites trouvées précédemment.
3. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), corollaire et algorithmique
L'utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection) pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=0$ est un grand classique du baccalauréat. Les élèves doivent rédiger cette question avec un soin particulier, en prenant soin de mentionner explicitement les trois hypothèses fondamentales : la continuité de la fonction, sa stricte monotonie sur l'intervalle considéré et le changement de signe de la fonction aux bornes. La recherche d'un encadrement de la solution $\alpha$ nécessite quant à elle de manipuler habilement la calculatrice (via un tableau de valeurs ou la méthode de dichotomie). Enfin, le signe global de la fonction sur tout son domaine s'en déduit naturellement à partir de cette racine et du tableau de variations.
4. Modélisation géométrique et problème d'optimisation
La dernière partie du sujet est indéniablement la plus originale et exige une bonne capacité de modélisation mathématique. L'objectif est de trouver la distance minimale entre l'origine du repère et un point situé sur la courbe du logarithme népérien. En utilisant la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé, on exprime le carré de cette distance en fonction de l'abscisse $x$. C'est ici que l'architecture de l'exercice prend tout son sens : l'étude de la fonction $f$ réalisée dans les premières questions sert de fonction auxiliaire. En effet, la dérivée de cette nouvelle fonction distance correspond, au signe d'une quantité positive près, à la fonction $f$. L'élève doit alors faire le lien direct entre le signe de $f$ établi plus haut et les variations de cette distance afin d'identifier formellement un extremum global (un minimum). Enfin, exprimer cette distance minimale en exploitant l'égalité $f(\alpha)=0$ constitue le dernier défi algébrique pour conclure l'exercice brillamment.