Analyse du sujet : Étude complète d'une fonction logarithme

Cet exercice de l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat 2025 (Polynésie, Sujet 2) propose une étude classique et complète d'une fonction comportant un logarithme népérien. Il s'agit d'un problème transversal qui mobilise l'ensemble des compétences d'analyse attendues en Terminale : calculs de limites, dérivation, étude de variations via une fonction auxiliaire et analyse de la convexité.

Compétences et clés de réussite

• Lecture graphique et conjectures : Savoir interpréter une courbe pour émettre des hypothèses sur les variations, les limites et les asymptotes est la première étape cruciale.
• Maîtrise du logarithme népérien : Il faut connaître les propriétés algébriques de $\ln$, sa dérivée et ses limites usuelles, notamment aux bornes de l'ensemble de définition $]2; +\infty[$.
• Calcul de dérivées : La fonction $f(x) = x \ln(x-2)$ nécessite l'utilisation de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ ainsi que la dérivée d'une fonction composée $\ln(u)$.
• Fonction auxiliaire : L'exercice introduit une fonction $g$ égale à $f'$. L'étude des variations de $g$ (qui revient à étudier la dérivée seconde de $f$) permet de déterminer le signe de $f'$. C'est une structure d'exercice très fréquente au Bac.
• Convexité et inflexion : L'étude de la convexité passe par le signe de la dérivée seconde. Le candidat doit savoir identifier un point d'inflexion (changement de convexité).
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : La dernière question sur le nombre de tangentes de coefficient directeur donné nécessite de comprendre que le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$. Cela revient à résoudre $f'(x) = k$ en utilisant le tableau de variations de la dérivée.

Conseils méthodologiques pour le corrigé

Pour réussir cet exercice, commencez par bien vérifier l'ensemble de définition. Lors du calcul de la limite en 2, attention à la forme indéterminée ou à la composition des limites (posez $X = x - 2$ si nécessaire). Pour la dérivée, soyez rigoureux dans l'application des formules.

L'enchaînement des questions 4 et 5 est subtil : on vous demande d'étudier $g$ (qui est $f'$). En dérivant $g$, vous obtenez $g'$ (soit $f''$). Le signe de $g'$ donne les variations de $g$. Le minimum de $g$ permettra de justifier que $f'(x)$ est toujours positif, simplifiant ainsi l'étude de $f$. Enfin, n'oubliez pas que la convexité se lit grâce au signe de $f''$ (ou $g'$ ici) et que le lien entre tangente et nombre dérivé est fondamental pour la dernière question.