Analyse globale de l'exercice Sujet 0 - 2024

Cet exercice, issu du Sujet 0 du Baccalauréat 2024, est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité Mathématiques. Il combine deux piliers majeurs du programme : la résolution analytique d'équations différentielles linéaires du premier ordre et l'étude qualitative de familles de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle.

L'objectif pédagogique est double : vérifier la maîtrise des techniques de calcul différentiel (dérivation, primitives, structure des solutions) et évaluer la capacité à faire le lien entre une expression algébrique dépendant d'un paramètre et sa représentation graphique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser des savoir-faire précis et faire preuve de rigueur dans la rédaction.

1. Maîtrise des équations différentielles linéaires

La première partie de l'exercice suit une structure canonique que tout élève doit connaître par cœur :

• Vérification d'une solution particulière : Il ne s'agit pas de trouver la solution ex nihilo, mais de dériver la fonction $u(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ (en utilisant la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$) et de vérifier qu'elle satisfait l'égalité $y' + y = \mathrm{e}^{-x}$.
• Résolution de l'équation homogène : Il faut savoir résoudre sans hésitation $y' + y = 0$. La forme des solutions est $x \mapsto C\mathrm{e}^{-ax}$.
• Principe de superposition : La solution générale de l'équation complète est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière. C'est une propriété fondamentale de la linéarité.
• Condition initiale : La détermination de l'unique solution $g$ telle que $g(0)=2$ nécessite de résoudre une simple équation pour trouver la constante d'intégration.

2. Analyse graphique et identification de paramètres

La seconde partie demande de prendre du recul sur les fonctions. L'élève est confronté à une famille de fonctions $f_k(x) = (x+k)\mathrm{e}^{-x}$ et doit identifier $k$.

• Lecture graphique : Il faut savoir distinguer deux courbes en analysant leurs propriétés. Par exemple, observer les ordonnées à l'origine (en calculant $f_k(0)$ et $h(0)$) est souvent la méthode la plus rapide pour discriminer les courbes.
• Déduction logique : La détermination de la valeur de $k$ repose sur l'identification d'un point caractéristique sur le graphique (intersection avec les axes ou intersection entre les deux courbes). Une bonne lecture des coordonnées permet de remonter à la valeur du paramètre par une équation simple.

3. Conseils méthodologiques

Attention aux erreurs de signes lors de la dérivation de $\mathrm{e}^{-x}$. Rappelez-vous que $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$. Dans la partie graphique, justifiez toujours votre choix de courbe par un calcul (par exemple $f(0)$) et non par une simple impression visuelle. Enfin, n'oubliez pas de préciser les intervalles de validité des solutions, ici $\mathbb{R}$.