Analyse de l'Exercice 3 : Un QCM justifié aux thématiques variées

Cet exercice du Baccalauréat 2025, session Métropole (Sujet 2), propose une structure classique de type « Vrai ou Faux » avec justification obligatoire. Ce format est particulièrement exigeant car il demande aux élèves de maîtriser plusieurs chapitres distincts du programme de Terminale : les suites numériques, l'analyse de fonctions (convexité) et le logarithme népérien. Une réponse correcte sans justification ne rapportant aucun point, la rigueur de la démonstration est ici aussi importante que le résultat lui-même.

Compétences et clés de réussite

1. Calcul de limites de suites exponentielles

La première affirmation porte sur le comportement asymptotique d'une suite rationnelle faisant intervenir des puissances (\(5^n\) et \(3^n\)). Pour traiter ce type de question, l'élève doit identifier le terme prépondérant au numérateur et au dénominateur. La méthode classique consiste à factoriser par le terme ayant la plus grande base (ici \(5^n\) ou \(3^n\)) pour lever l'indétermination de type « infini sur infini ». Une bonne connaissance des limites des suites géométriques (\(q^n\) avec \(q > 1\)) est indispensable pour conclure sur la convergence ou la divergence vers l'infini.

2. Le Raisonnement par récurrence

La deuxième affirmation demande de comparer une suite définie par récurrence (\(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\)) avec l'entier \(n\). Lorsqu'une propriété doit être vraie « pour tout entier naturel \(n\) » et qu'elle implique une relation de proche en proche, le raisonnement par récurrence est l'outil privilégié. Les candidats doivent structurer leur réponse en trois étapes : l'initialisation (vérifier pour \(n=0\)), l'hérédité (supposer la propriété vraie au rang \(n\) pour la démontrer au rang \(n+1\)) et la conclusion. Attention aux erreurs de calcul lors de l'étape d'hérédité.

3. Convexité et position relative de la tangente

L'analyse graphique est au cœur de la troisième question. Il s'agit d'interpréter la convexité d'une fonction \(f\) à partir de sa courbe représentative et de ses tangentes. La compétence clé ici est de savoir relier la convexité à la position de la courbe par rapport à ses tangentes :

• Une fonction est convexe si sa courbe est située au-dessus de ses tangentes.
• Elle est concave si sa courbe est située en-dessous de ses tangentes.

4. Étude de fonction et inégalités classiques

La dernière affirmation propose une inégalité fondamentale liant la fonction logarithme népérien et une fonction affine : \(\ln(x) - x + 1 \leqslant 0\). Pour justifier cette affirmation, il ne suffit pas de tester quelques valeurs. Il est nécessaire d'étudier les variations de la fonction \(g(x) = \ln(x) - x + 1\) sur l'intervalle \(]0 ; +\infty[\). En calculant la dérivée \(g'(x)\) et en dressant le tableau de variations, on peut déterminer le maximum de la fonction. Si ce maximum est inférieur ou égal à 0, l'inégalité est alors démontrée pour tout réel \(x\) strictement positif.