Compétences et clés de réussite

L'exercice 4 du Baccalauréat de Mathématiques (Métropole 2026, Sujet 1) est un problème d'analyse incontournable et très complet. Il évalue en profondeur la maîtrise de la fonction logarithme népérien à travers deux parties complémentaires : une approche graphique pour déterminer des paramètres inconnus, suivie d'une étude analytique rigoureuse allant jusqu'au calcul intégral. Ce type d'exercice nécessite non seulement de la rigueur calculatoire, mais aussi une excellente compréhension des concepts géométriques liés à l'analyse de fonctions.

Partie A : Lecture graphique et détermination de constantes

Cette première partie met en lumière vos capacités à traduire des informations visuelles en équations mathématiques. Pour réussir, plusieurs compétences sont sollicitées :

• Exploitation d'un point de la courbe : L'appartenance d'un point à la courbe représentative permet de déterminer directement un paramètre. Il faut être capable d'évaluer la fonction en une valeur clé (ici l'ordonnée à l'origine).
• Interprétation de la tangente : La pente de la tangente en un point correspond au nombre dérivé. Il est essentiel de savoir lire le coefficient directeur d'une droite sur un repère pour en déduire la valeur de la dérivée en un point donné.
• Analyse de la convexité : Le signe de la dérivée seconde est intimement lié à la position de la courbe par rapport à ses tangentes. Savoir repérer si une courbe traverse sa tangente ou reste d'un même côté donne une indication directe sur l'existence d'un point d'inflexion et sur le signe de cette dérivée seconde.
• Calcul algébrique : Vous devrez dériver une fonction comportant un quotient et un logarithme, puis utiliser une identification pour trouver la valeur du second paramètre. La maîtrise de la formule de dérivation $(u/v)'$ est ici primordiale.

Partie B : Étude analytique, TVI et Calcul Intégral

Une fois l'expression de la fonction validée, l'exercice bascule vers une étude de fonction classique mais très riche. Voici les points de vigilance majeurs :

• Limites et Asymptotes : La justification d'une asymptote horizontale passe par l'étude de la limite à l'infini. Il faut savoir mobiliser les théorèmes de croissances comparées, notamment la limite de $\frac{\ln(X)}{X}$, en procédant à des changements de variables ou des factorisations pour lever les formes indéterminées.
• Résolution d'inéquations logarithmiques : L'étude du signe de la dérivée nécessite de résoudre une inéquation contenant un logarithme. L'application de la fonction exponentielle, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, est l'outil indispensable pour isoler l'inconnue sans changer le sens de l'inégalité.
• Corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation $f(x) = 1,5$ requiert une rédaction méthodique et infaillible. Il est impératif de citer la continuité, la stricte monotonie sur l'intervalle cible, et de vérifier les bornes de l'image. L'utilisation pertinente de la calculatrice est ensuite attendue pour proposer un encadrement ou un arrondi précis.
• Calcul d'intégrale et Aires : La dernière question permet de valider vos compétences en calcul intégral. L'objectif est de reconnaître la dérivée d'une fonction composée, spécifiquement la forme $u'(x) \times u(x)^n$. Cette étape calculatoire se conclut par une interprétation géométrique incontournable : la traduction de l'intégrale calculée en aire sous la courbe, exprimée en unités d'aire.

En résumé, cet exercice brasse avec élégance une grande partie du programme d'analyse de la classe de Terminale. Une rédaction claire, qui justifie chaque étape (théorèmes appliqués, continuité, dérivabilité), est indispensable pour sécuriser la totalité des points de l'exercice. Il est vivement conseillé de prendre le temps de vérifier ses signes lors des dérivations successives.