Analyse globale de l'exercice : Étude de fonctions logarithmiques liées
Cet exercice est un grand classique des épreuves du Baccalauréat, structuré en trois parties interdépendantes (A, B et C). Il met en jeu la fonction logarithme népérien (ln) à travers l'étude d'une fonction auxiliaire et d'une fonction principale.
La structure est typique : la Partie A étudie une fonction \(g\) pour déterminer son signe, résultat qui sera ensuite exploité dans la Partie B pour analyser les variations de la fonction cible \(f\). Enfin, la Partie C propose une application géométrique via l'étude de la position relative de deux courbes.
Partie A : La fonction auxiliaire
L'objectif ici est purement instrumental : on cherche à connaître le signe de la fonction \(g(x) = \ln(x^2) + x - 2\). Pour ce faire, l'élève doit mener une étude classique :
- Calcul des limites aux bornes de l'intervalle \(]0; +\infty[\). Attention à la gestion de \(\ln(x^2)\) qui se simplifie en \(2\ln(x)\) pour \(x > 0\).
- Calcul de la dérivée \(g'(x)\) pour établir le tableau de variations.
- Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour prouver l'existence d'une unique solution \(\alpha\) à l'équation \(g(x) = 0\).
Cette partie se conclut par le tableau de signe de \(g\), indispensable pour la suite.
Partie B : Étude de la fonction principale
On étudie ici la fonction \(f(x) = \frac{x-2}{x}\ln(x)\). L'analyse de la dérivée est le point critique : l'énoncé guide les candidats en demandant de démontrer que \(f'(x)\) est proportionnelle à \(g(x)\) divisé par un carré positif. C'est ici que le lien avec la Partie A prend tout son sens.
Les calculs de limites demandent une certaine rigueur, notamment en 0 (où l'interprétation graphique d'une asymptote verticale est attendue) et en \(+\infty\) (nécessitant parfois de lever une forme indéterminée).
Partie C : Position relative
Cette dernière section demande de comparer \(f(x)\) et la fonction de référence \(\ln(x)\). La méthode consiste à étudier le signe de la différence \(d(x) = f(x) - \ln(x)\). Une factorisation astucieuse permet généralement de conclure rapidement.
Compétences et clés de réussite
Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :
- Propriétés algébriques du logarithme : Savoir que \(\ln(a^b) = b\ln(a)\) (ici avec \(x^2\)) simplifie grandement les calculs de dérivées et de limites.
- Calcul de dérivées : Maîtriser la dérivation d'un produit et d'un quotient est essentiel pour trouver \(f'(x)\). Une erreur de signe ici peut compromettre toute l'étude des variations.
- Théorème des Valeurs Intermédiaires : Il faut connaître la rédaction type : continuité, stricte monotonie et calcul des images aux bornes (ou limites).
- Étude de signe : Ne pas confondre les variations d'une fonction avec son signe. Savoir passer du tableau de variations de \(g\) (qui s'annule en \(\alpha\)) à son tableau de signes.
- Positions relatives : Comprendre que dire que \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_{ln}\) revient à résoudre l'inéquation \(f(x) - \ln(x) > 0\).
En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans l'enchaînement logique des questions, car les résultats de la partie A conditionnent la réussite de la partie B.