Analyse globale de l'exercice : Étude de fonctions logarithmiques liées

Cet exercice est un grand classique des épreuves du Baccalauréat, structuré en trois parties interdépendantes (A, B et C). Il met en jeu la fonction logarithme népérien (ln) à travers l'étude d'une fonction auxiliaire et d'une fonction principale.

La structure est typique : la Partie A étudie une fonction $g$ pour déterminer son signe, résultat qui sera ensuite exploité dans la Partie B pour analyser les variations de la fonction cible $f$. Enfin, la Partie C propose une application géométrique via l'étude de la position relative de deux courbes.

Partie A : La fonction auxiliaire

L'objectif ici est purement instrumental : on cherche à connaître le signe de la fonction $g(x) = \ln(x^2) + x - 2$. Pour ce faire, l'élève doit mener une étude classique :

• Calcul des limites aux bornes de l'intervalle $]0; +\infty[$. Attention à la gestion de $\ln(x^2)$ qui se simplifie en $2\ln(x)$ pour $x > 0$.
• Calcul de la dérivée $g'(x)$ pour établir le tableau de variations.
• Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour prouver l'existence d'une unique solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$.

Cette partie se conclut par le tableau de signe de $g$, indispensable pour la suite.

Partie B : Étude de la fonction principale

On étudie ici la fonction $f(x) = \frac{x-2}{x}\ln(x)$. L'analyse de la dérivée est le point critique : l'énoncé guide les candidats en demandant de démontrer que $f'(x)$ est proportionnelle à $g(x)$ divisé par un carré positif. C'est ici que le lien avec la Partie A prend tout son sens.

Les calculs de limites demandent une certaine rigueur, notamment en 0 (où l'interprétation graphique d'une asymptote verticale est attendue) et en $+\infty$ (nécessitant parfois de lever une forme indéterminée).

Partie C : Position relative

Cette dernière section demande de comparer $f(x)$ et la fonction de référence $\ln(x)$. La méthode consiste à étudier le signe de la différence $d(x) = f(x) - \ln(x)$. Une factorisation astucieuse permet généralement de conclure rapidement.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Propriétés algébriques du logarithme : Savoir que $\ln(a^b) = b\ln(a)$ (ici avec $x^2$) simplifie grandement les calculs de dérivées et de limites.
• Calcul de dérivées : Maîtriser la dérivation d'un produit et d'un quotient est essentiel pour trouver $f'(x)$. Une erreur de signe ici peut compromettre toute l'étude des variations.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires : Il faut connaître la rédaction type : continuité, stricte monotonie et calcul des images aux bornes (ou limites).
• Étude de signe : Ne pas confondre les variations d'une fonction avec son signe. Savoir passer du tableau de variations de $g$ (qui s'annule en $\alpha$) à son tableau de signes.
• Positions relatives : Comprendre que dire que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_{ln}$ revient à résoudre l'inéquation $f(x) - \ln(x) > 0$.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans l'enchaînement logique des questions, car les résultats de la partie A conditionnent la réussite de la partie B.