Compétences et clés de réussite

L'exercice 3 du sujet 2 du Baccalauréat de Nouvelle-Calédonie 2025 met en lumière des notions incontournables du programme de spécialité mathématiques : l'étude croisée d'une fonction logarithmique comprenant une exponentielle, et l'analyse d'une suite numérique définie par récurrence.

Étude de la fonction f et dérivation

La première partie s'attache à la manipulation de la fonction définie par f(x) = ln(e^{x/2} + 2). Pour prouver la stricte croissance de cette fonction sur l'ensemble des réels, le candidat doit maîtriser la dérivation des fonctions composées. L'application de la formule de la dérivée de ln(u) implique le calcul minutieux de la dérivée de e^{x/2}. Le signe de cette fonction dérivée (ici strictement positif) permet alors de valider le sens de variation. Par la suite, le calcul d'images particulières comme f(2ln(2)) sollicite les propriétés algébriques classiques entre exponentielle et logarithme népérien.

Étude d'une suite définie par récurrence

Dans la seconde partie, le problème propose l'étude d'une suite définie par la relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n). Le calcul de la valeur exacte du terme u_1 demande de savoir simplifier une expression en utilisant la règle e^{(1/2)ln(x)} = √x. Le cœur de l'exercice repose ensuite sur la démonstration par récurrence de l'encadrement des termes de la suite. L'hérédité s'appuie directement sur la croissance stricte de la fonction f établie précédemment, une méthode classique qu'il faut savoir rédiger avec rigueur. Cette décroissance minorée permet de conclure, par le théorème de la limite monotone, que la suite converge vers un nombre réel fini.

Résolution d'équation asymptotique et changement de variable

La dernière phase de l'exercice permet de déterminer la limite exacte de la suite. La résolution de l'équation aux limites f(x) = x se ramène, après manipulation des propriétés des puissances et des logarithmes, à une équation exponentielle complexe. Le passage par un changement de variable astucieux, en posant X = e^{x/2}, fait apparaître une équation du second degré (X² - X - 2 = 0). Une fois le polynôme résolu, il est impératif d'écarter la ou les solutions négatives, l'exponentielle étant par définition strictement positive. Cet exercice constitue ainsi une excellente révision pour préparer l'épreuve du baccalauréat, en mêlant avec fluidité analyse fonctionnelle, algèbre et suites.