Compétences et clés de réussite

Cet exercice de Spécialité Mathématiques (Bac 2023, Amérique du Nord, Sujet 1) propose une étude classique mais essentielle : l'algorithme de Héron, utilisé pour approximer des racines carrées. Il mobilise plusieurs compétences transversales liant l'analyse fonctionnelle, les suites numériques et la programmation.

1. Analyse de la suite récurrente

La première partie exige une maîtrise solide de l'étude de fonctions. L'élève doit être capable de :

• Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence avec précision (calcul fractionnaire).
• Étudier les variations d'une fonction associée $f(x) = \frac{1}{2}(x + \frac{11}{x})$ pour préparer le terrain au raisonnement par récurrence.
• Mener un raisonnement par récurrence rigoureux pour démontrer deux propriétés simultanées : la minoration de la suite par $\sqrt{11}$ et sa décroissance. C'est le cœur analytique de l'exercice.
• Appliquer le théorème de convergence monotone pour justifier l'existence d'une limite, puis résoudre une équation de point fixe $f(\ell) = \ell$ pour trouver la valeur exacte de cette limite.

2. Modélisation géométrique et informatique

La seconde partie ancre les mathématiques dans une application concrète : l'approximation de l'aire d'un rectangle. Les points clés incluent :

• La capacité à traduire un problème géométrique en relations algébriques (lien entre longueur, largeur et aire constante).
• La compréhension de l'interdépendance entre deux suites ($L_n$ et $\ell_n$) et leur convergence commune vers la racine carrée de l'aire.
• La lecture et l'interprétation d'un script Python. Il ne s'agit pas d'écrire du code, mais de simuler son exécution (boucle bornée for) et de comprendre comment les variables sont mises à jour à chaque itération. L'élève doit expliquer ce que représentent concrètement les valeurs retournées (encadrement de $\sqrt{11}$).

En résumé, cet exercice valorise la capacité à passer d'une étude théorique abstraite à une application algorithmique concrète, une compétence très recherchée dans le supérieur.