Analyse du Sujet de Bac Spécialité Maths - Amérique du Nord 2023

Le sujet du baccalauréat de mathématiques d'Amérique du Nord, tombé le 27 mars 2023, est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. Il couvre les quatre piliers fondamentaux du programme de Terminale : les probabilités, l'analyse de fonctions, la géométrie dans l'espace et les suites numériques. Voici une analyse détaillée et pédagogique pour vous aider à comprendre les attentes du correcteur.

Exercice 1 : Probabilités et Gestion des Déchets (5 points)

Cet exercice contextualisé aborde les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Le thème écologique (recyclage) est classique.

• Partie A : Arbres et Conditionnement. La difficulté principale réside dans la construction de l'arbre pondéré qui possède ici trois branches initiales (Minéral, Non-minéral, Dangereux). Il faut utiliser la formule des probabilités totales pour calculer $P(R)$. Une question subtile demande de calculer une probabilité conditionnelle inversée (formule de Bayes implicite).
• Partie B : Loi Binomiale. Application directe du cours. On identifie une épreuve de Bernoulli répétée (succès : déchet recyclable). La dernière question est un classique : trouver le seuil $n$ tel que $P(X \ge 1) \ge 0,9999$. Il faut passer par l'événement contraire (aucun succès) et utiliser les logarithmes pour isoler $n$.

Exercice 2 : Étude de Fonction Exponentielle (5 points)

Un exercice d'analyse pure, très structuré, reposant sur l'utilisation d'une fonction auxiliaire.

• Partie A : La fonction auxiliaire $g$. L'élève doit étudier les variations de $g$ pour déterminer son signe. Cela implique le calcul de limite et l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver une racine $\alpha$. C'est un schéma de raisonnement incontournable au bac.
• Partie B : La fonction principale $f$. Le lien est donné par la relation $f'(x) = \text{e}^x g(x)$. Le signe de la dérivée dépend donc directement du signe de $g$ trouvé précédemment. Une question de réflexion clôture l'exercice sur la convexité : il faut être capable d'expliquer pourquoi la fonction n'est pas convexe (via sa dérivée seconde ou l'observation de la pente).

Exercice 3 : QCM de Géométrie dans l'Espace (5 points)

Ce Questionnaire à Choix Multiple demande de la rigueur et de la méthode. Aucune justification n'est demandée, mais le brouillon doit être impeccable.

• Notions testées : Nature d'un triangle (produit scalaire ou calcul de distances), équation cartésienne de plan (vérifier si les points appartiennent au plan), coordonnées d'un projeté orthogonal, position relative de droites et intersection plan/plan.
• Conseil stratégique : Pour les équations de plans ou de droites, il est souvent plus rapide de tester les coordonnées des points proposés dans les équations plutôt que de tout recalculer depuis le début.

Exercice 4 : Suites et Algorithme de Héron (5 points)

Cet exercice est particulièrement intéressant car il modélise la méthode de Héron pour approximer une racine carrée (ici $\sqrt{11}$).

• Partie A : Étude théorique. On étudie une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$. Il faut démontrer par récurrence que la suite est décroissante et minorée par $\sqrt{11}$, ce qui assure sa convergence. La résolution de l'équation $f(x)=x$ permet de trouver la limite.
• Partie B : Approche géométrique et Python. On relie la suite à des rectangles d'aire constante. La question finale porte sur un script Python. Il ne s'agit pas d'écrire du code, mais de comprendre ce que renvoie la fonction : une approximation de plus en plus précise de la largeur et de la longueur, tendant toutes deux vers $\sqrt{11}$.

Conclusion

Ce sujet Amérique du Nord 2023 est équilibré et représentatif. Il ne comporte pas de piège majeur mais exige une rédaction soignée, notamment sur le TVI (Exercice 2) et la récurrence (Exercice 4). Maîtriser ce sujet assure une base solide pour l'épreuve de juin.