Compétences et clés de réussite

Cet exercice du baccalauréat de mathématiques aborde de manière exhaustive le domaine des probabilités, qui constitue un pilier incontournable du programme de spécialité mathématiques en classe de Terminale. Structuré en deux parties totalement indépendantes, ce sujet permet d'évaluer une très large palette de compétences de l'élève, allant de la maîtrise des probabilités conditionnelles classiques à l'étude approfondie d'échantillons à l'aide de variables aléatoires et de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Il demande à la fois des capacités de modélisation, de calcul et de raisonnement abstrait.

Partie A : Arbres de probabilités et probabilités totales

La première partie s'intéresse à une modélisation concrète autour d'une situation sportive (le service au tennis). La compétence première évaluée ici est la capacité à traduire correctement un énoncé textuel, comprenant des fréquences et des pourcentages de réussite, en un arbre de probabilités pondéré fonctionnel. Il est primordial de définir clairement les évènements pour ne pas commettre d'erreur d'interprétation.

Tout au long de cette partie, vous serez amené à mobiliser les savoir-faire suivants :

• Calculer la probabilité d'une intersection d'évènements en utilisant le produit des probabilités sur les branches de l'arbre.
• Appliquer rigoureusement la célèbre formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité d'un évènement global. La rigueur dans la justification mathématique, notamment en citant la partition de l'univers, est systématiquement valorisée par les correcteurs du baccalauréat.
• Inverser un conditionnement (par exemple, calculer la probabilité d'une cause sachant que la conséquence est réalisée). Cela exige une parfaite maîtrise de la définition mathématique de la probabilité conditionnelle sous sa forme fractionnaire.
• Démontrer l'indépendance (ou la non-indépendance) de deux évènements. Pour ce faire, il faut savoir comparer la probabilité de leur intersection au produit de leurs probabilités marginales de façon structurée.

Partie B : Loi binomiale et Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

La seconde partie modifie totalement le contexte pour se focaliser sur le contrôle qualité en sortie d'usine. Elle permet d'introduire des concepts plus avancés concernant les variables aléatoires discrètes, la répétition d'expériences et l'échantillonnage.

Dans un premier temps, le candidat doit identifier et utiliser la loi binomiale. L'exercice requiert de savoir justifier avec précision pourquoi une variable aléatoire suit ce modèle de loi. Il faudra bien mentionner les critères fondamentaux : la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et strictement indépendantes (assimilables à un tirage avec remise). Le calcul des probabilités, qu'il s'agisse de valeurs cumulées (inférieur ou égal) ou d'expressions littérales comme « au moins », fera souvent appel à la calculatrice ou au passage par l'évènement contraire. Le calcul de l'espérance vient conclure cette sous-partie.

La dernière section s'avère particulièrement exigeante et discriminante. Elle introduit une variable aléatoire définie comme la moyenne empirique d'un échantillon (somme de $n$ variables de Bernoulli, le tout divisé par $n$). Les principales attentes du jury portent sur :

• La détermination algébrique de l'espérance et de la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes, en exploitant la linéarité de l'espérance et la propriété multiplicative de la variance lors d'une division par une constante $n$.
• L'application directe et soignée de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ce théorème central permet d'encadrer l'écart à la moyenne en s'appuyant sur la variance. La difficulté réside dans la minoration de la probabilité d'appartenance à un intervalle en fonction du paramètre $n$.
• La résolution algébrique d'une inéquation finale afin de déterminer la taille minimale de l'échantillon $n$ qui permette de garantir une certaine précision statistique avec un niveau de confiance fixé à l'avance.

Pour exceller sur ce type d'exercice complet, une lecture minutieuse des consignes, une mémorisation parfaite des formules du cours et une présentation claire et structurée des arguments sont absolument indispensables.