Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths - Métropole Septembre 2024

Ce sujet de la session de remplacement (septembre 2024) pour la zone Métropole Antilles-Guyane est un excellent support d'entraînement. Il couvre de manière équilibrée les piliers du programme de Terminale : la géométrie dans l'espace, l'analyse de fonctions avec intégration, les suites numériques (sous forme de Vrai/Faux) et les probabilités. Voici une analyse détaillée pour optimiser vos révisions.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (6 points)

Cet exercice se déroule dans un cube, un classique indémodable du Bac. Il permet d'évaluer la maîtrise du repérage dans l'espace et du calcul vectoriel.

• Les notions clés : Coordonnées de points, équations cartésiennes de plans, représentations paramétriques de droites et calculs de volumes (tétraèdre).
• Les difficultés : La dernière partie introduit un paramètre réel \(a\) pour définir un point \(K_a\) et une droite \(\Delta_a\). Cette abstraction demande une bonne rigueur algébrique pour ne pas se perdre dans les calculs de volumes dépendant de \(a\).
• Le piège à éviter : Attention à la distinction entre le volume d'une pyramide classique et celui d'un tétraèdre (qui est aussi une pyramide). La hauteur doit être identifiée correctement par rapport à la base choisie.

Exercice 2 : Fonctions, Intégration et Logarithme (5 points)

Un exercice contextualisé (fabrication de bonbons) découpé en deux parties indépendantes, mêlant calcul intégral et étude de fonction économique.

• Partie A (Intégration) : L'élève doit justifier le signe d'une fonction et surtout effectuer une intégration par parties (IPP) pour calculer une aire, puis un volume. C'est une compétence technique essentielle.
• Partie B (Étude de fonction) : On étudie une fonction bénéfice \(B(q)\) impliquant un logarithme népérien. Il faut dériver un produit \(uv\), étudier le signe de la dérivée, et utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver des seuils de rentabilité.
• Le conseil du prof : Ne négligez pas les unités dans la partie contextuelle (centaines de bonbons, dizaines d'euros). Une erreur d'échelle à la fin coûte des points bêtement.

Exercice 3 : Vrai ou Faux sur les Suites (5 points)

Cet exercice demande de statuer sur la véracité de 5 affirmations. Attention : la justification est obligatoire.

• Affirmation 1 : Transformation d'une suite arithmético-géométrique en suite géométrique.
• Affirmation 2 : Utilisation du théorème des gendarmes pour une limite.
• Affirmation 3 : Une démonstration par récurrence est attendue pour prouver une formule explicite.
• Affirmation 4 & 5 : Étude de convergence. L'affirmation 5 fait intervenir un script Python simulant l'algorithme de Héron (racine carrée). Il faut lier le code au théorème de convergence des suites monotones.

Exercice 4 : Probabilités (4 points)

Divisé en deux parties, cet exercice traite du contrôle qualité.

• Partie A : Application directe de la loi binomiale. Calcul d'espérance et recherche d'un seuil \(n\) via des inéquations sur les logarithmes.
• Partie B : Plus subtile, elle aborde la somme de variables aléatoires indépendantes. Il faut connaître les propriétés de l'espérance (\(E(X+Y) = E(X)+E(Y)\)) et de la variance (\(V(X+Y) = V(X)+V(Y)\) pour des variables indépendantes). L'exercice se termine par l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une notion souvent survolée mais présente au programme.