Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths - Métropole Septembre 2024

Ce sujet de la session de remplacement (septembre 2024) pour la zone Métropole Antilles-Guyane est un excellent support d'entraînement. Il couvre de manière équilibrée les piliers du programme de Terminale : la géométrie dans l'espace, l'analyse de fonctions avec intégration, les suites numériques (sous forme de Vrai/Faux) et les probabilités. Voici une analyse détaillée pour optimiser vos révisions.

Exercice 1 : Géométrie dans l'espace (6 points)

Cet exercice se déroule dans un cube, un classique indémodable du Bac. Il permet d'évaluer la maîtrise du repérage dans l'espace et du calcul vectoriel.

• Les notions clés : Coordonnées de points, équations cartésiennes de plans, représentations paramétriques de droites et calculs de volumes (tétraèdre).
• Les difficultés : La dernière partie introduit un paramètre réel $a$ pour définir un point $K_a$ et une droite $\Delta_a$. Cette abstraction demande une bonne rigueur algébrique pour ne pas se perdre dans les calculs de volumes dépendant de $a$.
• Le piège à éviter : Attention à la distinction entre le volume d'une pyramide classique et celui d'un tétraèdre (qui est aussi une pyramide). La hauteur doit être identifiée correctement par rapport à la base choisie.

Exercice 2 : Fonctions, Intégration et Logarithme (5 points)

Un exercice contextualisé (fabrication de bonbons) découpé en deux parties indépendantes, mêlant calcul intégral et étude de fonction économique.

• Partie A (Intégration) : L'élève doit justifier le signe d'une fonction et surtout effectuer une intégration par parties (IPP) pour calculer une aire, puis un volume. C'est une compétence technique essentielle.
• Partie B (Étude de fonction) : On étudie une fonction bénéfice $B(q)$ impliquant un logarithme népérien. Il faut dériver un produit $uv$, étudier le signe de la dérivée, et utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver des seuils de rentabilité.
• Le conseil du prof : Ne négligez pas les unités dans la partie contextuelle (centaines de bonbons, dizaines d'euros). Une erreur d'échelle à la fin coûte des points bêtement.

Exercice 3 : Vrai ou Faux sur les Suites (5 points)

Cet exercice demande de statuer sur la véracité de 5 affirmations. Attention : la justification est obligatoire.

• Affirmation 1 : Transformation d'une suite arithmético-géométrique en suite géométrique.
• Affirmation 2 : Utilisation du théorème des gendarmes pour une limite.
• Affirmation 3 : Une démonstration par récurrence est attendue pour prouver une formule explicite.
• Affirmation 4 & 5 : Étude de convergence. L'affirmation 5 fait intervenir un script Python simulant l'algorithme de Héron (racine carrée). Il faut lier le code au théorème de convergence des suites monotones.

Exercice 4 : Probabilités (4 points)

Divisé en deux parties, cet exercice traite du contrôle qualité.

• Partie A : Application directe de la loi binomiale. Calcul d'espérance et recherche d'un seuil $n$ via des inéquations sur les logarithmes.
• Partie B : Plus subtile, elle aborde la somme de variables aléatoires indépendantes. Il faut connaître les propriétés de l'espérance ($E(X+Y) = E(X)+E(Y)$) et de la variance ($V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ pour des variables indépendantes). L'exercice se termine par l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une notion souvent survolée mais présente au programme.