Compétences et clés de réussite

Cet exercice, issu de la session de septembre 2021 en Métropole, est un classique incontournable des épreuves du Baccalauréat portant sur les suites numériques. Il met en jeu deux suites couplées (ou entremêlées) $(u_n)$ et $(v_n)$, où l'expression de l'une dépend de l'autre. La maîtrise de plusieurs concepts fondamentaux est nécessaire pour réussir ce type de problème.

1. Gestion des suites auxiliaires

Une stratégie fréquente dans les sujets de Bac consiste à introduire une suite auxiliaire, ici nommée $(w_n)$, définie par la différence des deux suites initiales. L'objectif est souvent de démontrer que cette nouvelle suite est géométrique. La méthode est standardisée :

• Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$.
• Remplacer par les relations de récurrence données.
• Factoriser pour faire apparaître $w_n$ multiplié par une raison $q$.

Une fois la nature géométrique prouvée, il devient aisé d'exprimer le terme général en fonction de $n$ et d'en déduire la limite (ici, la raison est comprise entre -1 et 1, donc la suite converge vers 0).

2. Étude des variations et convergence

L'exercice demande de lier le signe de la suite auxiliaire aux variations des suites principales. C'est une étape de déduction logique : si $u_{n+1} - u_n$ est proportionnel à $-w_n$, le signe de $w_n$ dicte directement la croissance ou la décroissance de la suite. L'élève doit être capable de manipuler les inégalités avec rigueur.

3. Le raisonnement par récurrence

Point central du programme de Terminale, le raisonnement par récurrence est ici utilisé pour minorer la suite $(u_n)$. Il ne faut négliger aucune étape de la rédaction :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang $n=0$.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $k$ et démontrer qu'elle l'est au rang $k+1$. Ici, l'utilisation de l'hypothèse de récurrence nécessite de bien observer les coefficients de la relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$ et $v_n$.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Cette étape permet ensuite d'appliquer le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge).

4. Suites constantes et calcul de la limite

La fin de l'exercice utilise une technique élégante pour trouver la valeur exacte de la limite commune : l'introduction d'une seconde suite auxiliaire $(c_n)$ qui s'avère être constante (invariant de boucle). En prouvant que $c_{n+1} = c_n$, on fige une relation linéaire entre les limites $\ell$ et $\ell'$. Couplée à l'égalité $\ell = \ell'$ démontrée précédemment, cette méthode permet de résoudre un système simple pour obtenir la valeur finale sans calculs de limites complexes.