Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2022, Sujet 1 de Métropole, propose une structure classique et riche qui entremêle l'analyse de fonctions et l'étude de suites numériques. Il s'agit d'un problème complet permettant de tester la maîtrise du logarithme népérien, du calcul de dérivées, ainsi que la capacité à mener un raisonnement par récurrence.

Partie A : Étude de la fonction logarithme

La première partie se concentre sur une fonction définie par un quotient mêlant logarithme et polynôme : $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Pour réussir cette partie, le candidat doit maîtriser les croissances comparées en l'infini, un classique des limites de fonctions logarithmiques. Le calcul de la dérivée nécessite l'application rigoureuse de la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$.

L'étude du signe de la dérivée $f'(x)$ repose sur la résolution d'une inéquation faisant intervenir $\ln x$. Une fois le tableau de variations établi, l'élève est amené à utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour discuter du nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$. La clé ici est de bien distinguer les intervalles de monotonie et de vérifier si la valeur $k$ appartient à l'image de l'intervalle considéré.

Partie B : Suites et Récurrence

La seconde partie introduit une suite $(u_n)$ définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = g(u_n)$ avec une fonction exponentielle. L'objectif est d'étudier la convergence de cette suite.

• Sens de variation de la fonction : Il faut d'abord justifier la croissance de la fonction $g$, ce qui est immédiat avec la composition de fonctions croissantes.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. Il faut démontrer un encadrement de la forme $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \text{e}$. La réussite de cette démonstration repose sur l'hérédité : on utilise la croissance de la fonction $g$ pour passer du rang $n$ au rang $n+1$.
• Convergence : L'application du théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge) est indispensable pour conclure à l'existence d'une limite finie.

Lien entre les deux parties

La subtilité de cet exercice réside dans la question finale. Il ne s'agit pas simplement de résoudre $g(x)=x$ de manière isolée, mais de transformer cette équation pour retrouver l'expression de la fonction $f$ étudiée en Partie A. L'élève doit être capable de manipuler les équations exponentielles et logarithmiques pour démontrer que la limite $\ell$ vérifie une équation du type $f(\ell) = \text{constante}$. Cela permet d'utiliser les résultats de la Partie A (notamment l'étude des solutions de $f(x)=k$) pour approximer la limite de la suite.