Compétences et clés de réussite

Cet exercice 3 du sujet du Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 2, Sujet 1) est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) qui balaie plusieurs thèmes centraux du programme de Spécialité Mathématiques. Pour réussir cet exercice sans perdre de points (rappelons qu'aucune justification n'est demandée, mais le brouillon est essentiel), le candidat doit maîtriser l'analyse de fonctions et l'étude des suites.

1. Primitives et dérivation

La première question porte sur le lien entre une fonction et sa primitive. Une stratégie efficace en QCM consiste à dériver les propositions de fonctions $F$ pour voir laquelle redonne la fonction $f(x) = x\text{e}^x$. Cela nécessite une maîtrise parfaite de la dérivation des produits $(uv)' = u'v + uv'$.

2. Domaine de définition et logarithme

Pour la fonction $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right)$, la clé est de se rappeler que la fonction logarithme népérien $\ln(U)$ n'est définie que si $U > 0$. Il ne suffit pas que le numérateur et le dénominateur soient positifs ; le quotient global doit être strictement positif. La réalisation d'un tableau de signes est l'outil indispensable ici.

3. Convexité et dérivée seconde

L'étude de la convexité d'une fonction $h$ faisant intervenir une exponentielle requiert le calcul de la dérivée seconde $h''(x)$. Le signe de cette dérivée seconde indique la convexité :

• Si $h''(x) > 0$, la fonction est convexe.
• Si $h''(x) < 0$, la fonction est concave.

La rigueur dans le calcul des dérivées successives est ici primordiale.

4. Comportement asymptotique des suites

La quatrième question teste la compréhension théorique des limites. Elle interroge sur les propriétés des suites convergentes et minorées (théorème de comparaison et passage à la limite dans les inégalités). Attention aux pièges classiques : la convergence n'implique pas nécessairement la décroissance, et une inégalité stricte sur les termes peut devenir large à la limite.

5. Suites récurrentes et nature

Enfin, la dernière question propose une suite définie par une relation de récurrence dépendant de $n$ : $w_{n+1} = \frac{1}{n} w_n$. Il faut être capable de distinguer cette relation d'une suite géométrique (où la raison serait constante) et d'évaluer les premiers termes ou le comportement à l'infini pour déterminer la convergence vers 0 ou une autre valeur.