Compétences et clés de réussite
Cet exercice incontournable du baccalauréat de mathématiques 2026 en Métropole (Sujet 1) évalue des compétences fondamentales en théorie des probabilités et sur l'étude approfondie des variables aléatoires. Ancré dans une situation concrète touchant au secteur du tourisme, et plus précisément à la réservation de traversées maritimes, ce problème complet permet aux élèves de réinvestir leurs connaissances sur les probabilités conditionnelles, l'indépendance de variables, ainsi que sur le rôle de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Un tel cadre pratique exige non seulement des qualités de calcul, mais également un solide esprit de modélisation mathématique.
Modélisation par un arbre de probabilités
La première partie s'ouvre sur l'inévitable traduction algébrique de l'énoncé par la construction et l'exploitation d'un arbre pondéré de probabilités. Il s'agit en premier lieu de décortiquer attentivement le texte afin d'extraire les pourcentages donnés pour les associer rigoureusement aux bonnes probabilités, qu'elles soient marginales ou conditionnelles. L'élaboration de ce schéma structuré est un atout indispensable pour clarifier le scénario et se prémunir des pièges habituels d'interprétation. Le candidat doit ainsi mobiliser des théorèmes élémentaires mais cruciaux comme la loi des nœuds, où la somme des probabilités issues d'un même état doit être égale à un, et savoir effectuer le produit des probabilités sur un même chemin pour déterminer la probabilité d'une intersection. La mise en application de la célèbre formule des probabilités totales permet ensuite d'atteindre la valeur globale de l'événement cible et de compléter astucieusement les branches non renseignées de l'arbre. Enfin, la séquence de probabilité se termine par la détermination d'une probabilité conditionnelle inversée, qui vient valider définitivement la bonne intégration de la démarche probabiliste de Bayes.
Variables aléatoires et paramètres d'une loi discrète
Dans la seconde partie du problème, l'attention se porte plus spécifiquement sur la manipulation de variables aléatoires et la détermination de leurs indicateurs de position et de dispersion. Les élèves sont directement invités à retrouver et justifier les valeurs de l'espérance mathématique et de la variance d'une loi de probabilité préalablement décrite sous forme de tableau. Ce travail purement calculatoire exige une véritable rigueur arithmétique en appliquant les définitions classiques, y compris la très utile formule de Koenig-Huygens pour le calcul efficace de la variance. Par la suite, l'énoncé superpose l'effet de deux variables indépendantes modélisant différents types de dépenses. Il convient dès lors de faire appel à la linéarité de l'espérance, ainsi qu'aux propriétés singulières d'additivité de la variance dans le strict cadre de l'indépendance. L'introduction d'une remise commerciale incite judicieusement à exprimer une nouvelle variable globale selon un modèle affine, dont il faut alors déterminer les paramètres d'impact sur la moyenne et l'écart-type ou la variance.
Statistique, échantillonnage et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
La toute dernière section de l'exercice aborde avec finesse des concepts de statistiques inférentielles, au travers de la moyenne arithmétique d'un échantillon composé de nombreuses variables indépendantes et identiquement distribuées. Dans cette étape, il est avant tout demandé de transposer les formules d'espérance et de variance étudiées à l'échelle d'un seul client vers une moyenne globale représentant un ensemble de familles. L'exercice atteint alors son point d'orgue technique avec l'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cet instrument mathématique particulièrement puissant permet, sans pour autant connaître la loi de probabilité de la moyenne, de majorer la probabilité que celle-ci s'écarte exagérément de son espérance. En manipulant convenablement ces inéquations avec attention, il devient possible de calculer la taille minimale de l'échantillon qui assure le respect strict d'un niveau de certitude défini à l'avance. L'achèvement d'un tel raisonnement prouve l'aptitude des candidats à opérer des calculs abstraits tout en donnant une signification statistique pragmatique au résultat obtenu.