Analyse du Sujet Bac Maths 2023 - Polynésie (Session de Septembre)

Le sujet de mathématiques du Baccalauréat général, session de remplacement de septembre 2023 en Polynésie, est un excellent support d'entraînement. Il couvre les quatre piliers fondamentaux du programme de Terminale Spécialité : les probabilités, l'analyse de fonctions, les suites numériques et la géométrie dans l'espace. Voici une analyse détaillée et pédagogique pour vous aider à aborder ce sujet avec méthode.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (4 points)

Cet exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une situation classique de vente automobile. Il est découpé en deux parties distinctes :

• Probabilités conditionnelles : La première partie nécessite la construction d'un arbre pondéré. La difficulté réside souvent dans la traduction de l'énoncé ("sachant que..."). On utilise la formule des probabilités totales pour trouver \( P(C) \) et la formule de Bayes inversée pour calculer une probabilité conditionnelle inverse.
• Variable aléatoire et Loi Binomiale : La seconde partie introduit une variable \( X \) comptant un nombre de clients. Les mots-clés "indépendants", "succès/échec" et la répétition de l'expérience doivent immédiatement vous orienter vers la justification d'une loi binomiale de paramètres \( n=17 \) et \( p \). Le calcul de \( P(X \ge 3) \) se fait généralement via l'événement contraire \( 1 - P(X \le 2) \) pour gagner du temps à la calculatrice.

Exercice 2 : Étude de Fonction Exponentielle et Convexité (6 points)

C'est le "gros" morceau de l'analyse, divisé en deux parties indépendantes mais thématiquement liées.

• Partie A - Étude analytique : On étudie une fonction du type \( f(x) = (x + 0,5)e^{-x} + x \). Les compétences clés incluent le calcul de limites (attention aux formes indéterminées en \( +\infty \), pensez à la croissance comparée) et l'étude des variations via la dérivée seconde. Une particularité ici : on vous donne \( f''(x) \) pour en déduire les variations de \( f' \), puis le signe de \( f' \), et enfin les variations de \( f \). L'utilisation du T.V.I. (Théorème des Valeurs Intermédiaires) est indispensable pour montrer l'unicité de la solution \( f(x)=0 \).
• Partie B - Lecture graphique et identification : Cette partie teste votre capacité à lier courbe et équation. La notion de point d'inflexion est centrale (changement de convexité, dérivée seconde s'annule en changeant de signe). Vous devrez également retrouver les coefficients \( a \) et \( b \) en utilisant les données géométriques (tangente, coordonnées de points).

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Un exercice très complet sur les suites définies par récurrence \( u_{n+1} = f(u_n) \).

• Étude de la fonction support : Avant de toucher à la suite, on étudie la fonction polynôme du second degré associée. L'objectif est de définir un intervalle stable \( [4/3 ; 2] \) et de prouver l'inégalité fondamentale \( x \le f(x) \).
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'exercice. Il faut démontrer que la suite est croissante et majorée pour prouver sa convergence (Théorème de convergence monotone). Le calcul de la limite se fait en résolvant l'équation point fixe \( f(l) = l \).
• Python et cas particuliers : L'exercice se termine par une analyse de cas selon la valeur initiale \( u_0 \). Le script Python demande de compléter une boucle while pour trouver un seuil, une compétence classique du programme. Enfin, un raisonnement par l'absurde est demandé pour prouver la divergence dans un cas spécifique, ce qui demande une bonne rigueur logique.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace - QCM (5 points)

Le QCM est un exercice de rapidité et de précision. Aucune justification n'est demandée, mais le brouillon doit être rigoureux.

• Orthogonalité : Pour vérifier si un vecteur est directeur d'une droite orthogonale à deux autres, le produit scalaire est votre meilleur allié (il doit être nul dans les deux cas).
• Représentations paramétriques : Ne cherchez pas à établir l'équation vous-même systématiquement ; testez les points donnés dans les équations proposées.
• Vecteurs normaux : Rappelez-vous que pour un plan d'équation \( ax + by + cz + d = 0 \), le vecteur \( \vec{n}(a;b;c) \) est normal. Ici, avec \( x=1 \), soit \( 1x + 0y + 0z - 1 = 0 \), la réponse est immédiate mais piègeuse pour les inattentifs.

Conseil final : Ce sujet de Polynésie 2023 est très équilibré. Il ne présente pas de difficulté calculatoire majeure mais exige une rédaction irréprochable, notamment sur les théorèmes d'existence (TVI) et de convergence des suites.