Introduction : Le Sujet de Madagascar 2022, un classique pour s'entraîner

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques tombé à Madagascar (et dans les centres étrangers du groupe 1) le 19 mai 2022 est une excellente ressource pour les révisions. Ce Sujet 2 couvre un spectre large du programme de Terminale : Probabilités conditionnelles, Géométrie dans l'espace, QCM d'analyse et suites, et un problème de synthèse mêlant logarithme, exponentielle et suites récurrentes.

Il est réputé équilibré mais demande une grande rigueur rédactionnelle, notamment sur la partie géométrie et l'étude des fonctions. Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les attentes du correcteur et les compétences clés à maîtriser.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale

Ce premier exercice est un grand classique du genre. Il commence par une situation de probabilités conditionnelles modélisée par un arbre pondéré. C'est le point de départ idéal pour assurer des points en début d'épreuve.

• Les notions clés : Arbres de probabilité, formule des probabilités totales, indépendance d'événements, et probabilités conditionnelles inversées (formule de Bayes).
• Le piège à éviter : À la question 4, on demande $P_C(F)$ (probabilité d'être une femme sachant qu'on est cadre). L'erreur fréquente est de calculer $P(F \cap C)$. Il faut bien utiliser la formule $P_C(F) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)}$.
• Partie Loi Binomiale : La transition vers l'échantillonnage est standard. On répète une expérience de Bernoulli (être cadre ou non) de manière indépendante. Il faut savoir justifier les paramètres $n=15$ et $p=0,191$. La question du seuil (trouver $n$ pour une probabilité $\ge 0,99$) se résout classiquement en passant par l'événement contraire "aucun cadre" ($X=0$).

Exercice 2 : Géométrie dans l'espace (Le Cube)

L'exercice de géométrie se place dans un cube muni d'un repère orthonormé. C'est une configuration rassurante car les coordonnées des sommets sont faciles à déterminer (0 ou 1).

• Compétences évaluées : Démontrer l'orthogonalité (droite/plan), déterminer l'équation cartésienne d'un plan, représentation paramétrique de droite, et calcul de volumes.
• Analyse stratégique :
  • Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan (Question 1), le candidat doit montrer qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Ici, l'utilisation du produit scalaire ou des coordonnées de vecteurs est attendue.
  • La question 3.c demande de prouver qu'un point K est le projeté orthogonal. La méthode la plus simple est de vérifier deux choses : K appartient au plan (AGH) et le vecteur LK est colinéaire au vecteur normal du plan.
  • Le calcul de volume final demande de bien identifier la base et la hauteur.

Exercice 3 : QCM (Analyse et Suites)

Ce Questionnaire à Choix Multiples balaye plusieurs thèmes. Rappelons qu'en QCM, même si la justification n'est pas demandée, un brouillon rigoureux est indispensable pour ne pas tomber dans les pièges intuitifs.

• Convexité : La fonction $g(x) = x^{1000} + x$. Il faut dériver deux fois. $g''(x) = 1000 \times 999 x^{998}$. Comme $x^{998}$ est une puissance paire, c'est toujours positif (ou nul), donc la fonction est convexe.
• Lecture graphique : Une question subtile où l'on donne la courbe de la dérivée $f'$ pour déduire une propriété de la tangente à $f$. Il faut lire $f'(0)$ sur le graphique pour connaître le coefficient directeur de la tangente.
• Suites : Des questions sur la bornitude, le signe des termes et la nature géométrique d'une suite (temps de génération cellulaire). Cette dernière question demande de résoudre une équation de type $2^n = 4000$ (ou d'approximer les puissances de 2).

Exercice 4 : Fonctions et Suites Imbriquées

C'est l'exercice le plus technique du sujet, destiné à discriminer les très bonnes copies. Il mêle l'étude d'une fonction logarithmique/exponentielle à l'étude de deux suites interdépendants.

• Partie A (Fonction) : L'étude de $f(x) = \text{e}^{-x} + \ln(x)$ sur $]0;1]$. Attention à la limite en 0 (forme indéterminée ou limite simple selon l'écriture, ici $\ln(x) \to -\infty$). Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) est requis pour prouver l'unicité de la solution $\ell$ telle que $f(\ell)=0$.
• Partie B (Suites) :
  • Python : Il faut compléter un algorithme pour calculer les termes. La difficulté réside dans la gestion des variables : il faut une variable temporaire pour stocker la valeur de $a$ ou $b$ avant qu'elle ne soit écrasée pour le calcul suivant.
  • Récurrence complexe : La question 2.a demande de démontrer une chaîne d'inégalités : $0 < a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n \leqslant 1$. C'est une démonstration exigeante qui repose sur la décroissance de la fonction $x \mapsto \text{e}^{-x}$.
  • Convergence : On utilise le théorème de convergence monotone (suite croissante majorée et suite décroissante minorée).
  • Finale : Le lien entre la limite des suites et la fonction de la partie A est élégant. On découvre que $A$ est solution de l'équation $f(x)=0$, faisant le pont entre les deux parties de l'exercice.

Conclusion

Le sujet Madagascar 2022 est un excellent entraînement pour le Bac. Il ne présente pas de difficulté insurmontable mais punit le manque de rigueur. La partie B de l'exercice 4 est particulièrement formatrice pour ceux qui visent l'excellence et les études supérieures scientifiques.