Compétences et clés de réussite

Cet exercice de spécialité mathématiques du Bac 2021 (Métropole, Sujet 1) est un grand classique de l'analyse réelle. Il mobilise l'ensemble des compétences attendues sur l'étude de la fonction exponentielle et permet de vérifier la maîtrise du calcul dérivationnel ainsi que la capacité à raisonner sur des problèmes d'existence de solutions (TVI) et de géométrie analytique (tangentes).

1. Maîtrise du calcul de limites et dérivées

La première partie de l'exercice est procédurale mais exige de la rigueur. Pour étudier la fonction définie par \(f(x) = \frac{e^x}{x}\), l'élève doit connaître sur le bout des doigts les croissances comparées en \(+\infty\). L'identification d'une asymptote verticale en \(0\) repose sur l'analyse du signe du dénominateur au voisinage de cette valeur.

Le calcul de la dérivée nécessite l'application correcte de la formule du quotient \(\left(\frac{u}{v} ight)'\). Une erreur de signe ici compromettrait toute la suite de l'étude (sens de variation). Il est crucial de savoir factoriser par \(e^x\) (toujours positif) pour étudier le signe de \(f'(x)\) qui ne dépendra alors que du terme algébrique restant.

2. Lecture de tableau et Théorème des Valeurs Intermédiaires

La question sur le nombre de solutions de l'équation \(f(x) = m\) demande une lecture intelligente du tableau de variations. Ce n'est pas un calcul direct, mais une discussion graphique basée sur les extrema locaux et les limites de la fonction. L'élève doit visualiser l'intersection de la courbe avec une droite horizontale mobile.

3. Problème de tangente et fonction auxiliaire

La dernière partie de l'exercice est la plus technique. Elle lie l'analyse à la géométrie via la notion de nombre dérivé. L'élève doit se rappeler que le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse \(a\) est donné par \(f'(a)\).

La condition de parallélisme avec la droite \(y = -x\) (de coefficient directeur \(-1\)) conduit à résoudre l'équation \(f'(a) = -1\). L'originalité ici est que cette résolution ne se fait pas directement, mais nécessite l'introduction d'une fonction auxiliaire \(g\).

Pour réussir cette étape, il faut :

• Traduire l'équation \(f'(a) = -1\) en une équation équivalente faisant intervenir \(g\).
• Étudier les variations de cette nouvelle fonction \(g\) (dérivée seconde, signe).
• Appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) pour prouver l'existence et l'unicité de la solution.

Cet enchaînement « étude de fonction principale \( ightarrow\) problème géométrique \( ightarrow\) fonction auxiliaire » est très fréquent dans les sujets de Bac et constitue un excellent entraînement pour le supérieur.