Compétences et clés de réussite
Cet exercice, issu du Baccalauréat de Mathématiques 2026 (Antilles, Sujet 2), se présente sous la forme d'un Vrai/Faux. C'est un grand classique de l'épreuve qui permet d'évaluer la maîtrise globale du programme d'Analyse. Il balaie des notions incontournables telles que les équations différentielles, la convexité des fonctions, ainsi que l'étude des limites et asymptotes. Chaque affirmation doit être rigoureusement justifiée. La simple réponse "Vrai" ou "Faux" ne rapporte aucun point.
1. Résolution et étude d'équations différentielles linéaires du premier ordre
La première et la dernière affirmation de l'exercice mettent en jeu les équations différentielles linéaires. Dans un premier temps, vous devez résoudre une équation de la forme y' + ay = 0. La compétence clé ici est de connaître la forme générale des solutions, qui s'exprime avec la fonction exponentielle. Ensuite, l'utilisation de la condition initiale f(0) = 1 permet de déterminer l'unique fonction solution du problème de Cauchy. Il faut alors vérifier si un point précis appartient à la courbe, ce qui demande de maîtriser les propriétés algébriques du logarithme népérien et de l'exponentielle, notamment eln(a) = a.
Pour la quatrième affirmation, il s'agit d'une équation différentielle du type y' = ay + f(x). La méthode la plus directe, puisqu'on vous propose une fonction candidate, est simplement de la dériver, puis d'injecter la fonction et sa dérivée dans l'équation différentielle pour vérifier si l'égalité est satisfaite. C'est une compétence fondamentale de vérification de solution.
2. Convexité et position relative par rapport aux tangentes
La deuxième affirmation traite de la position de la courbe représentative d'une fonction par rapport à ses tangentes. Le point de cours essentiel à mobiliser est le lien entre cette propriété géométrique et la convexité de la fonction. Pour prouver qu'une courbe est toujours située au-dessus de ses tangentes sur un intervalle, il faut démontrer que la fonction est convexe sur cet intervalle. L'outil privilégié est le calcul de la dérivée seconde f''(x). Il vous faudra dériver correctement la fonction contenant une composante trigonométrique (ici le cosinus), dériver une seconde fois, puis étudier le signe de cette dérivée seconde sur l'intervalle donné.
3. Limites, théorème des gendarmes et asymptotes
La troisième affirmation s'intéresse au comportement asymptotique d'une fonction faisant intervenir la fonction sinus. La recherche de l'asymptote horizontale requiert le calcul de la limite de la fonction lorsque x tend vers l'infini. Puisque la fonction sinus n'a pas de limite en l'infini, vous ne pouvez pas utiliser les théorèmes opératoires classiques. La méthode de résolution passe obligatoirement par un encadrement du sinus entre -1 et 1. À partir de là, vous pourrez encadrer la fonction f(x) et appliquer le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) pour déterminer la limite. La conclusion quant à l'existence de l'asymptote horizontale découle directement de la définition vue en cours.
En résumé, la réussite à cet exercice repose sur une excellente connaissance du cours d'Analyse, une bonne aisance calculatoire (dérivation, manipulation des exponentielles/logarithmes) et une rédaction soignée et structurée pour chaque justification.