Analyse de l'exercice : Fonction logarithme et Suites associées

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat 2023 (Centres Étrangers Groupe 2, Sujet 2) est un classique de l'épreuve de spécialité. Il combine l'étude analytique d'une fonction logarithme népérien avec l'étude du comportement asymptotique d'une suite numérique définie par récurrence. Ce type de problème permet d'évaluer la capacité des élèves à transférer des résultats d'analyse fonctionnelle vers l'étude des suites.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale :

• Étude de fonctions logarithmes : La première partie nécessite une bonne connaissance de la fonction $\ln$. Il faut savoir justifier un ensemble de définition, calculer une dérivée composée de la forme $\ln(u)$, et étudier les variations de la fonction pour en déduire des inégalités. La maîtrise des limites, notamment via des changements de forme algébrique pour lever des indéterminations (ici en factorisant par l'exponentielle ou en utilisant les croissances comparées), est indispensable.
• Lien entre fonction et suite : La partie B introduit une suite $(u_n)$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ ou $u_{n+1} = u_n - \ln(1+u_n)$. La clé est de comprendre comment les variations de la fonction $f$ étudiées en partie A (ou le signe de $f(x)-x$) influencent le comportement de la suite.
• Raisonnement par récurrence : Une démonstration par récurrence est explicitement demandée pour prouver la positivité de la suite. La rédaction doit être rigoureuse : initialisation, hérédité en utilisant la croissance de la fonction associée (ou le résultat de la question précédente), et conclusion.
• Convergence et théorème du point fixe : L'étude de la monotonie de la suite (en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$) couplée à sa minoration permet d'appliquer le théorème de convergence monotone. Enfin, pour trouver la valeur de la limite, l'élève doit résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$ (ou équivalent), en justifiant la continuité de la fonction.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans l'analyse de fonction pour ensuite dérouler méthodiquement les étapes classiques de l'étude de suites : bornage, monotonie, convergence et calcul de la limite.