Oui
Fonction logarithme
Dérivation
Limites
Théorème des valeurs intermédiaires
Convexité
Position relative
Sujet Bac Corrigé - Logarithme et Convexité - Amérique du Sud Sujet 1 - 2022 - Ex 3 - Corrigé
31 août 2022
Terminale Spécialité
Prêt à relever le défi des Fonctions Logarithmes ? 🚀 Cet exercice issu du Bac est un incontournable pour muscler ton cerveau. Tu vas explorer une fonction fascinante en jonglant avec des concepts clés :
- Le calcul de la dérivée et l'analyse fine des variations.
- L'utilisation du célèbre Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour débusquer l'unique solution $\alpha$.
- La maîtrise de la concavité pour comparer une courbe à sa corde.
⚠️ Attention au piège : la précision est de mise pour l'encadrement de $\alpha$ ! C'est l'entraînement idéal pour vérifier si tu es prêt pour le jour J. Sauras-tu prouver la concavité de la fonction sans trembler ? 🔥 Relève le défi et deviens un pro de l'analyse ! ✅
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Compétences et clés de réussite
Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu de l'épreuve d'Amérique du Sud (Sujet 1), propose une étude classique mais dense d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. Il mobilise un large éventail de compétences en analyse, allant du calcul de limites à l'interprétation géométrique de la convexité. Voici les points méthodologiques essentiels pour réussir ce type d'épreuve.
1. Maîtrise du calcul algébrique et des limites
La fonction proposée, $g(x) = 1+ x^2[1 - 2 \ln (x)]$, nécessite une attention particulière lors du développement et de l'étude des limites. Pour la limite en $+\infty$, il est crucial de reconnaître les formes indéterminées et de savoir utiliser les croissances comparées, notamment la prédominance des puissances de $x$ sur le logarithme népérien. Une bonne gestion des signes est également indispensable pour évaluer $g(e)$.
2. Dérivation et étude des variations
L'étape de dérivation demande de la rigueur. Ici, la fonction se présente sous la forme d'un produit $u \times v$ combiné à une somme. L'application correcte de la formule de dérivation d'un produit est fondamentale. Une fois la dérivée $g'(x)$ obtenue, l'objectif est souvent de la factoriser pour étudier son signe. Dans cet exercice, le signe de la dérivée dépend directement du signe de $\ln(x)$, ce qui permet de dresser le tableau de variations sur l'intervalle donné.
3. Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
La recherche de la solution unique $\alpha$ à l'équation $g(x)=0$ est une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Pour obtenir tous les points, trois conditions doivent être explicitement citées :
- La continuité de la fonction sur l'intervalle ;
- La stricte monotonie de la fonction ;
- L'appartenance de la valeur cible (ici 0) à l'image de l'intervalle.
L'utilisation de la calculatrice est ensuite requise pour déterminer un encadrement précis de la solution.
4. Convexité et interprétation géométrique
La seconde partie de l'exercice aborde la convexité, une notion géométrique puissante en analyse. Il s'agit d'abord de vérifier la concavité de la fonction via le signe de sa dérivée seconde $g''(x)$. La clé de réussite réside ensuite dans la capacité à traduire cette propriété analytique en propriété géométrique : savoir qu'une fonction concave sur un intervalle voit sa courbe représentative située au-dessus de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe). Cette propriété permet de démontrer des inégalités fonctionnelles sans recourir à des études de signe complexes, simplement en déterminant l'équation de la droite sécante.