Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Mathématiques, session de septembre 2023 pour la Métropole (Sujet 1), propose une étude approfondie mêlant les fonctions exponentielle et logarithme népérien. Il est structuré de manière classique avec une partie auxiliaire destinée à préparer l'étude de la convexité de la fonction principale.

Analyse de la Partie A : Fonction auxiliaire

La première partie se concentre sur une fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$. Les candidats doivent faire preuve de rigueur dans le calcul de la dérivée, qui mène à l'étude du signe d'un trinôme du second degré. Cette étape est cruciale pour établir le sens de variation de la fonction.

Un point clé de cette partie est l'utilisation du Théorème des valeurs intermédiaires (ou son corollaire) pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $g(x)=0$. La compréhension du lien entre les variations de la fonction et son signe est indispensable pour conclure.

Analyse de la Partie B : Convexité et Variations

La seconde partie s'intéresse à la fonction $f(x) = e^x \ln(x)$. L'objectif principal est d'étudier sa convexité. Pour cela, l'exercice guide l'élève vers le calcul de la dérivée seconde $f''$. La réussite de cette question repose sur la capacité à factoriser l'expression pour faire apparaître la fonction $g$ étudiée précédemment ($f''(x) = e^x \times g(x)$).

Les compétences sollicitées incluent :

• Dérivation composée : Maîtriser les formules de dérivation du produit $u \times v$ et de la composée avec $\ln(x)$ et $e^x$.
• Interprétation graphique : Faire le lien entre le signe de la dérivée seconde, la convexité de la fonction et la présence d'un point d'inflexion.
• Calcul de limites : Déterminer les limites aux bornes, notamment en $0$ et $+\infty$, en gérant les formes indéterminées éventuelles ou les croissances comparées.
• Manipulation algébrique : Une question fine demande de simplifier l'expression de $f'(\alpha)$ en utilisant le fait que $g(\alpha) = 0$. C'est une technique classique pour étudier le signe de la dérivée sans avoir la valeur exacte de $\alpha$.

En résumé, cet exercice numéro 4 évalue la capacité à mener une étude de fonction complète, en articulant les résultats d'une fonction auxiliaire pour déduire les propriétés géométriques (convexité) et les variations de la fonction principale.