Analyse de l'exercice : Géométrie vectorielle et métrique dans l'espace

Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu du Sujet 2 des Centres Étrangers, est un classique de la géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des outils vectoriels au programme de la spécialité mathématiques : coordonnées, produit scalaire, orthogonalité et calculs de volumes. L'objectif est de vérifier la capacité du candidat à manipuler les objets géométriques aussi bien de manière analytique (calculs sur les coordonnées) que synthétique (raisonnement sur les figures).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les compétences suivantes :

• Démontrer la non-coplanarité de points : Il faut savoir traduire cette question en termes vectoriels. Cela revient à démontrer que trois vecteurs formés par ces points ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire qu'ils sont linéairement indépendants (ou qu'ils ne peuvent pas s'écrire comme combinaison linéaire les uns des autres).
• Utiliser le produit scalaire : L'outil fondamental pour démontrer l'orthogonalité. Savoir calculer un produit scalaire à partir des coordonnées est un prérequis indispensable pour prouver qu'un triangle est rectangle.
• Démontrer l'orthogonalité droite-plan : Une compétence clé de la géométrie dans l'espace. Le candidat doit se rappeler qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
• Calculer des volumes : L'exercice demande d'appliquer la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$). La difficulté réside souvent dans l'identification correcte de la base et de la hauteur correspondante, validée par les questions précédentes sur l'orthogonalité.
• Manipuler les projections orthogonales : La dernière partie de l'exercice aborde une notion plus fine : le projeté orthogonal. Il faut savoir démontrer qu'un point appartient à un plan (via une relation de colinéarité ou combinaison linéaire de vecteurs) et que le vecteur reliant le point extérieur à son projeté est normal au plan.
• Lien entre volume, aire et hauteur : La question finale invite souvent à utiliser le volume calculé d'une manière pour en déduire une aire ou une distance (hauteur) en changeant de base. C'est une astuce classique des sujets de Bac : utiliser l'unicité du volume pour trouver une grandeur géométrique difficile à calculer directement.

Conseils méthodologiques

La rigueur dans la rédaction est primordiale. Lorsque vous démontrez qu'une droite est orthogonale à un plan, citez explicitement les vecteurs directeurs et montrez les calculs de produits scalaires nuls. De même, pour les calculs de coordonnées, faites attention aux signes, source fréquente d'erreurs d'étourderie.