Analyse du Sujet 0 - Bac 2024 - Exercice 7

Cet exercice est un classique des épreuves du Baccalauréat, portant sur l'étude d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel $k$. Il combine l'analyse fonctionnelle pure (dérivation, variations) et une interprétation géométrique des résultats (lieu géométrique des extremums).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Gestion des paramètres : La difficulté principale réside dans la présence du paramètre $k$. Il est crucial de le considérer comme une constante lors des phases de dérivation par rapport à la variable $x$, tout en comprenant son impact sur la forme de la courbe.
• Dérivation de la fonction exponentielle : Le calcul de la dérivée nécessite une bonne maîtrise de la formule $(e^u)' = u'e^u$. Ici, la présence de $e^{-x}$ impose une vigilance sur les signes.
• Calcul littéral et logarithmes : L'exercice demande d'évaluer la fonction en $\ln(k)$. Il faut savoir simplifier des expressions du type $e^{-\ln(k)} = \frac{1}{k}$ sans erreur pour parvenir au résultat demandé ($f_k(\ln k) = \ln k + 1$).
• Lien Algèbre-Géométrie : La dernière partie demande de vérifier l'alignement de points. C'est une application directe des résultats précédents : il faut reconnaître que les coordonnées des points $A_k$ vérifient une équation de droite simple (de type $y = x + b$).

Conseils méthodologiques

Dans la première partie, on fixe $k=0,5$. C'est une étape de "mise en confiance" qui permet de comprendre le comportement général de la fonction avant de passer au cas général. Ne négligez pas cette étape, car la méthode reste identique pour la suite.

Pour la question sur l'alignement des points, évitez de calculer des vecteurs complexes inutilement si vous pouvez remarquer une relation fonctionnelle simple entre l'abscisse et l'ordonnée des points $A_k$. L'observation des coordonnées $(\ln k ; \ln k + 1)$ est la clé pour conclure rapidement et élégamment.