Introduction : Un sujet complet pour la rentrée décalée

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques Amérique du Sud, session de septembre 2023 (Jour 1), est une excellente ressource pour les élèves qui souhaitent s'entraîner sur des thématiques classiques mais exigeantes. Ce sujet balaye les quatre piliers majeurs du programme de Terminale : l'analyse de fonctions avec logarithme, les probabilités (loi binomiale et conditionnelle), la géométrie dans l'espace et les suites numériques appliquées à des modèles d'évolution.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre les compétences attendues et les pièges à éviter.

Exercice 1 : Analyse de fonctions, Logarithme et Python (5 points)

Cet exercice est un grand classique de l'analyse. Il démarre par l'étude d'une fonction $f(x) = 1 + x^2 - 2x^2\ln(x)$.

• Les limites : La première question demande de lever une indétermination en $+\infty$. L'astuce est donnée dans l'énoncé (factorisation), mais il faut maîtriser les croissances comparées.
• La dérivation : Le calcul de $f'(x)$ nécessite l'utilisation de la règle du produit $(uv)'$. Une erreur de signe ici serait fatale pour l'étude des variations.
• Théorème des valeurs intermédiaires : L'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ (TVI ou corollaire) est une question incontournable. Il faut bien vérifier les bornes des images.
• Algorithmique (Python) : Le script de dichotomie est standard. L'élève doit comprendre comment l'algorithme encadre la solution $\alpha$ pour choisir la bonne proposition.
• Partie B - Géométrie analytique : L'étude d'une fonction auxiliaire $g(x)$ et de ses tangentes demande de la rigueur dans les calculs algébriques pour trouver le point d'intersection.

Exercice 2 : Probabilités et Contexte concret (5 points)

Cet exercice ancre les mathématiques dans le réel avec des statistiques sur les naissances (jumeaux, triplés).

• Loi Binomiale : Après avoir modélisé la situation (succès/échec), on reconnait un schéma de Bernoulli répété. La question classique sur $P(X \geqslant 1)$ se résout impérativement par l'événement contraire $1 - P(X=0)$.
• Probabilités conditionnelles : La deuxième partie introduit un arbre de probabilité assez dense (Jumeaux Monozygotes/Dizygotes, Sexe Fille/Garçon). La difficulté réside dans la bonne lecture de l'arbre et l'utilisation de la formule des probabilités totales.
• Indépendance : La notion d'indépendance est cruciale pour calculer les probabilités sur les branches des jumeaux dizygotes.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (5 points)

Un exercice très visuel portant sur une sphère et un tétraèdre.

• Sphère et Points : Contrairement à certains sujets demandant l'équation cartésienne de la sphère, ici on travaille avec la définition métrique $KM=R$. Il faut savoir calculer une distance dans un repère orthonormé.
• Plans et Droites : On demande de vérifier qu'un vecteur est normal à un plan, puis d'en déduire l'équation cartésienne du plan $(ABC)$. C'est une application directe du cours.
• Représentation paramétrique : Il faut savoir passer d'un point et un vecteur directeur à un système d'équations paramétriques pour une droite.
• Calcul de Volume : Le final demande de calculer le volume d'un tétraèdre. La difficulté est souvent de bien identifier la hauteur $h$ (ici la distance d'un point au plan) et l'aire de la base.

Exercice 4 : Suites numériques et Modélisation (5 points)

Cet exercice lie l'étude théorique des suites à un modèle biologique (type Verhulst).

• Étude de fonction associée : On commence par étudier $f(x) = 2x(1-x)$. La croissance de la fonction sur l'intervalle donné est la clé pour la récurrence qui suit.
• Raisonnement par récurrence : Il faut démontrer que la suite est croissante et majorée pour en déduire sa convergence (Théorème de convergence monotone).
• Calcul de limite : La limite se trouve en résolvant l'équation point fixe $f(l) = l$.
• Modélisation : La Partie B est intéressante car elle transforme une suite complexe (logistique) en une suite auxiliaire $v_n$ plus simple pour conclure sur la stabilisation de la population. C'est un bel exemple d'application concrète des maths.