Compétences et clés de réussite

Cet exercice 1 du sujet Asie 2024 (Sujet 1) est un classique de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il mobilise l'ensemble des compétences liées à l'analyse de fonctions, avec une application concrète finale. Voici les points clés pour réussir cet exercice :

1. Analyse graphique et lien entre dérivées

La première partie demande une lecture rigoureuse des graphiques. Il ne s'agit pas seulement de lire des valeurs, mais de comprendre la relation structurelle entre une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.

• Variations : Savoir dresser un tableau de variations à partir de l'observation de la courbe (croissance/décroissance).
• Convexité et inflexion : Identifier visuellement un changement de concavité ou une tangente traversante (point d'inflexion).
• Identification des courbes : Il faut être capable de justifier quel graphique correspond à la dérivée (liée aux variations de $f$) et à la dérivée seconde (liée à la convexité de $f$).

2. Étude algébrique de la fonction exponentielle

La partie B formalise l'étude avec l'expression $f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}$. La maîtrise du calcul dérivé est indispensable, notamment la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ et la dérivée de $e^{u}$.

• Calcul de dérivée : Montrer rigoureusement l'expression de $f'(x)$ en factorisant par l'exponentielle (toujours strictement positive) pour étudier le signe.
• Convexité : L'étude du signe de la dérivée seconde permet de valider par le calcul la position du point d'inflexion repéré graphiquement.

3. Primitives, Intégration et Application

La dernière section est consacrée au calcul intégral et à la modélisation.

• Vérification de primitive : Savoir déterminer les coefficients $a$ et $b$ d'une fonction $F(x)$ en dérivant celle-ci pour retomber sur $f(x)$.
• Calcul d'intégrale : Utiliser la primitive pour calculer la valeur exacte de l'intégrale définie. Attention aux bornes d'intégration.
• Modélisation (Piste de trottinette) : Le problème final demande de lier l'intégrale calculée à une aire géométrique (le mur de la piste). La clé de la réussite réside ici dans la gestion des unités et des pourcentages (75% de la surface) pour déterminer le nombre de bombes de peinture nécessaires.