Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2024 (Sujet 0) est un classique des épreuves de spécialité mathématiques. Il propose l'étude d'une suite d'intégrales (souvent appelées intégrales de Wallis ou similaires dans leur structure) mêlant fonction exponentielle et puissances. L'objectif est d'étudier le comportement asymptotique de cette suite à travers deux approches : une approche algébrique et algorithmique dans la première partie, et une approche analytique utilisant des encadrements dans la seconde partie.

Compétences et clés de réussite

1. Lien entre Primitive et Intégrale

La première question demande de vérifier qu'une fonction $F_1$ est une primitive de $f_1$. La méthode la plus efficace et attendue n'est pas d'intégrer $f_1$, mais de dériver $F_1$. Il est crucial de maîtriser la dérivation d'un produit de la forme $u \times v$ (ici avec l'exponentielle) pour retrouver l'expression de $f_1(x)$. Une fois la primitive validée, le calcul de l'intégrale $I_1$ se fait par application directe du théorème fondamental de l'analyse : $I_1 = F_1(1) - F_1(0)$.

2. Maîtriser l'Intégration par Parties (IPP)

Le cœur de la première partie repose sur l'établissement d'une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$. L'outil indispensable ici est l'intégration par parties. Pour réussir cette étape, le candidat doit :

• Savoir choisir judicieusement les fonctions $u(x)$ et $v'(x)$. Ici, dériver le terme polynomial ($x^{n+1}$) permet d'abaisser son degré, ce qui est la stratégie standard.
• Être rigoureux dans la rédaction (fonctions dérivables, continuités) et dans les signes lors du calcul des crochets et de l'intégrale résultante.

3. Algorithmique et langage Python

L'exercice intègre une question de programmation. Il s'agit d'interpréter un script Python qui calcule les termes successifs de la suite. La clé est de reconnaître que la boucle for implémente la relation de récurrence démontrée précédemment ($I_{n+1} = e - (n+1)I_n$). Comprendre le fonctionnement des listes (méthode .append()) et l'indexation est nécessaire pour prédire le contenu de la liste retournée.

4. Analyse Asymptotique et Théorème d'Encadrement

La seconde partie se concentre sur la limite de la suite. L'interprétation graphique (aire sous la courbe) permet d'émettre une conjecture. Pour la preuve rigoureuse, l'exercice guide vers l'utilisation du théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). La difficulté réside dans la majoration de l'intégrande :

• Il faut majorer $e^x$ sur l'intervalle $[0; 1]$.
• Il faut savoir intégrer l'inégalité pour obtenir un encadrement de $I_n$.
• Enfin, le calcul de l'intégrale $\int_0^1 x^n dx$ est élémentaire mais doit être fait sans erreur pour conclure sur la limite nulle de la suite $I_n$.