Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Première Technologique de 2026 en Polynésie, porte sur l'application concrète des suites numériques dans un contexte financier. La situation traite d'un emprunt de 10 000 € remboursable selon deux modalités distinctes. La Formule 1 suit une progression constante (augmentation fixe de 400 €), ce qui définit une suite arithmétique. La Formule 2 suit une progression proportionnelle (augmentation de 10 %), ce qui caractérise une suite géométrique. L'objectif final est de comparer le coût total du crédit pour déterminer l'option la plus économique.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :
- Reconnaissance du type de suite : Une augmentation additive correspond à une suite arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$), tandis qu'une augmentation en pourcentage correspond à une suite géométrique ($v_{n+1} = v_n \times q$).
- Calcul du coefficient multiplicateur : Pour une hausse de 10 %, le coefficient $q$ est égal à $1 + \frac{10}{100} = 1,1$.
- Formule du terme général : Savoir passer de $u_0$ à $u_n$ directement ($u_n = u_0 + n \times r$ ou $v_n = v_0 \times q^n$) est un gain de temps précieux, même si le calcul pas à pas est possible ici vu le faible nombre de termes.
- Lecture de tableau : Comprendre que les valeurs en ligne 7 représentent la somme cumulée des termes (les intérêts totaux inclus).
Correction détaillée
Partie A : Formule 1 (Suite Arithmétique)
1. On a $u_1 = u_0 + 400 = 1025 + 400 = 1425$ €.
2. La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique car on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Sa raison est $r = 400$.
3. Le dernier versement est $u_5$. En utilisant la formule du cours : $u_5 = u_0 + 5 \times r = 1025 + 5 \times 400 = 1025 + 2000 = 3025$ €.
Partie B : Formule 2 (Suite Géométrique)
1. Pour augmenter une valeur de 10 %, on la multiplie par $1,10$. Ainsi, $v_1 = 1550 \times 1,10 = 1705$ €.
2. La suite $(v_n)$ est une suite géométrique car on passe d'un terme au suivant en multipliant par un nombre constant. Sa raison est $q = 1,10$.
Partie C : Comparaison
Pour l'emprunteur, la formule la plus avantageuse est celle qui coûte le moins cher au total. Dans le tableau, la ligne 7 indique le montant total remboursé (capital + intérêts) :
- Formule 1 : 12 150,00 €
- Formule 2 : 11 959,20 €
On constate que $11 959,20 < 12 150,00$. La Formule 2 est donc la plus avantageuse car le coût global du crédit est inférieur de près de 190 € par rapport à la Formule 1.