Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet zéro de 2025 pour la classe de Première Technologique, porte sur l'étude de deux modèles d'évolution de population à l'aide des suites numériques. Le contexte est classique : une population de singes dont on cherche à prévoir l'avenir selon deux scénarios mathématiques distincts.
- Le premier modèle (Partie A) repose sur une baisse constante en pourcentage, ce qui conduit naturellement à une suite géométrique de raison inférieure à 1.
- Le second modèle (Partie B) introduit un apport constant (réintroduction ou naissances), ce qui donne naissance à une suite arithmético-géométrique.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les points suivants :
- Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de 10% correspond à multiplier par \(1 - 0,10 = 0,9\).
- Définition d'une suite géométrique : Reconnaître la forme \(u_{n+1} = q imes u_n\).
- Utilisation d'un tableur : Savoir traduire une relation de récurrence en formule Excel/Sheets (référence relative à la cellule précédente).
- Interprétation de données : Savoir lire un tableau de valeurs pour identifier un seuil.
Guide de résolution et correction
Partie A : Premier modèle
1. En 2026 (\(n=1\)), la population baisse de 10% : \(1000 - 0,10 imes 1000 = 1000 imes 0,9 = 900\).
2. a. \(u_2\) représente le nombre de singes en \(2025+2 = 2027\). On calcule \(u_2 = u_1 imes 0,9 = 900 imes 0,9 = 810\).
b. Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par 0,9. La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(q = 0,9\).
c. Comme \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante.
3. Oui, la population est menacée d'extinction car la limite d'une suite géométrique de raison \(0,9\) est \(0\) quand \(n\) tend vers l'infini.
Partie B : Second modèle
1. Pour 2026 (\(n=1\)), on utilise la formule de récurrence : \(v_1 = 0,9 imes v_0 + 150 = 0,9 imes 1000 + 150 = 900 + 150 = 1050\).
2. Formule tableur en B3 : =0,9*B2+150. On multiplie la valeur précédente (B2) par 0,9 et on ajoute 150.
3. En observant le tableau, on cherche la première valeur de \(v_n\) supérieure à 1400. On lit \(v_{15} \approx 1397\) et \(v_{16} \approx 1407\). Le seuil est franchi pour \(n=16\), soit l'année \(2025 + 16 = 2041\).