Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques pour la classe de Première Technologique, prend la forme d'un questionnaire à choix multiples (QCM) ou d'affirmations à justifier. Il est particulièrement complet car il mobilise trois chapitres fondamentaux du tronc commun : les suites numériques, l'étude des équations du second degré et les probabilités. L'objectif est de vérifier la maîtrise des propriétés calculatoires et la capacité à modéliser une situation aléatoire simple.

Points de vigilance et notions de cours

• Suites arithmétiques : Il faut impérativement connaître la relation entre deux termes quelconques : \(u_n = u_p + (n-p)r\). Une erreur classique consiste à utiliser \(n\) au lieu de \(n-p\).
• Suites géométriques : La relation \(u_n = u_p \times q^{n-p}\) est essentielle. Attention au signe de la raison \(q\) lorsqu'on résout une équation de type \(q^2 = a\).
• Second degré : Savoir transformer une équation pour l'amener à la forme \(ax^2 + bx + c = 0\). Ici, la factorisation est souvent plus rapide que le calcul du discriminant \(\Delta\).
• Probabilités : L'utilisation d'un arbre de probabilité ou d'un tableau à double entrée est fortement recommandée pour ne pas oublier d'issues dans l'univers \(\Omega\).

Correction détaillée de l'exercice

1. Affirmation 1 (VRAIE) : Nous avons une suite arithmétique de raison \(r = 0,5\) avec \(u_{50} = 1000\). Pour calculer \(u_{60}\), on applique la formule : \(u_{60} = u_{50} + (60 - 50) \times r\). Ce qui donne \(u_{60} = 1000 + 10 \times 0,5 = 1000 + 5 = 1005\).

2. Affirmation 2 (VRAIE) : Dans une suite géométrique, \(u_{102} = u_{100} \times q^2\). On a donc \(20 = 5 \times q^2\), soit \(q^2 = 4\). Comme \(q\) est positive, \(q = 2\). Pour trouver \(u_{99}\), on sait que \(u_{100} = u_{99} \times q\), d'où \(5 = u_{99} \times 2\), soit \(u_{99} = 5 / 2 = 2,5\).

3. Affirmation 3 (VRAIE) : L'affirmation propose l'équation \(x + x = x^2\), soit \(2x = x^2\). En réordonnant, on obtient \(x^2 - 2x = 0\). En factorisant par \(x\), on trouve \(x(x - 2) = 0\). Cette équation possède deux solutions réelles : \(x = 0\) et \(x = 2\). Il est donc possible de trouver au moins un réel (ici, il y en a même deux).

4. Affirmation 4 (FAUSSE) : Lorsqu'on lance deux pièces, les issues possibles sont {Pile-Pile ; Pile-Face ; Face-Pile ; Face-Face}. Il y a 4 issues équiprobables. Gagner signifie obtenir {Pile-Pile} ou {Face-Face}. Il y a donc 2 chances sur 4, soit \(1/2\) (50%) et non \(1/4\).