Analyse Globale du Sujet - Polynésie Session 2026

Le sujet de spécialité mathématiques de la session 2026 en Polynésie offre un panorama complet et équilibré du programme de Première. Avec une structure classique composée d'une partie automatismes (QCM) et de deux exercices de synthèse, il évalue à la fois la rapidité d'exécution et la profondeur de la réflexion analytique. La difficulté est progressive, commençant par des rappels de seconde pour finir sur des notions de raccordement de courbes (continuité et dérivabilité) assez exigeantes.

Exercice 1 : Probabilités et Suites Numériques

Cet exercice est divisé en deux parties distinctes mais essentielles pour tout élève de Première.

Partie A : Probabilités Conditionnelles

La première partie repose sur la construction d'un arbre pondéré. Les notions clés sont ici les probabilités totales et l'indépendance. Piège à éviter : Lors du calcul de P(N), n'oubliez pas d'additionner les deux chemins menant à l'événement N (R inter N et non-R inter N). Pour l'indépendance, la méthode la plus robuste consiste à comparer P(R inter N) avec le produit P(R) x P(N).

Partie B : Suites et Algorithmique

On étudie une suite géométrique modélisant la croissance d'un club de vacances. La raison q=1,025 correspond à une augmentation de 2,5 % par an. L'aspect algorithmique avec Python est classique mais demande de la précision : la boucle 'while' doit tester la condition 'u < k' pour continuer à chercher le seuil. Conseil méthodologique : Utilisez le tableau de valeurs fourni (extrait de tableur) pour identifier le moment où le coefficient multiplicateur dépasse 1,5 (car 600/400 = 1,5), ce qui correspond à l'année recherchée.

Exercice 2 : Analyse de Fonctions et Raccordement

Cet exercice de 6 points est le cœur de l'évaluation sur l'analyse.

Partie A : Étude d'une fonction exponentielle

L'élève doit démontrer la dérivée d'un produit de type (uv). La fonction f(x) = (0,5x + 1)exp(-x) nécessite d'appliquer (uv)' = u'v + uv'. Piège fréquent : Oublier le signe 'moins' lors de la dérivation de exp(-x), dont la dérivée est -exp(-x). L'étude du signe de la dérivée permettra de dresser le tableau de variations, mettant en évidence un maximum en x=0.

Partie B : Géométrie analytique et raccordement

Cette partie demande de trouver les paramètres d'un polynôme du second degré pour assurer un raccordement 'lisse' entre deux courbes. Le point M(0;1) donne immédiatement la valeur de 'c' (ordonnée à l'origine). L'égalité des tangentes au point M signifie que f'(0) doit être égal à g'(0). C'est une application concrète du nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.

Conclusion et Conseils de Révision

Ce sujet de Polynésie 2026 souligne l'importance de maîtriser les bases techniques (calculs de pourcentages, dérivées usuelles) tout en étant capable de les appliquer dans des contextes concrets ou algorithmiques. Pour réussir, entraînez-vous à rédiger proprement les justifications de probabilités et à manipuler les exponentielles sans erreurs de signe. La compréhension de l'algorithme de seuil reste un incontournable de l'examen.