Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, issu des épreuves de Première Spécialité, porte sur la modélisation d'un placement financier à intérêts composés. La notion centrale est celle de la suite géométrique. L'énoncé nous présente un capital initial de 5000 € qui augmente de 3 % chaque année. Dans le langage des suites, une augmentation annuelle de 3 % correspond mathématiquement à une multiplication par un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{3}{100} = 1,03\).
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Il est crucial de transformer immédiatement le taux de 3 % en \(1,03\). Une erreur classique est d'additionner 0,03 ou de multiplier par 0,03.
- Nature de la suite : Comme on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la suite est géométrique.
- Formule du terme général : Il faut connaître par cœur \(u_n = u_0 \times q^n\).
- Calcul de seuil : La question 4 demande de trouver \(n\) tel que \(u_n > 10000\). En Première, cela se résout généralement par tâtonnement à la calculatrice ou via le mode 'Table'.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes :
Le capital \(u_1\) après 1 an est : \(u_1 = 5000 \times 1,03 = 5150\).
Le capital \(u_2\) après 2 ans est : \(u_2 = 5150 \times 1,03 = 5304,5\).
Les valeurs correspondent bien à l'énoncé.
2. Expression de la suite :
a) Pour tout \(n\), \(u_{n+1} = 1,03 \times u_n\). La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(q = 1,03\) et de premier terme \(u_0 = 5000\).
b) On en déduit l'expression fonctionnelle : \(u_n = 5000 \times 1,03^n\).
3. Capital à 18 ans :
On cherche \(u_{18} = 5000 \times 1,03^{18}\).
À l'aide de la calculatrice, on trouve \(u_{18} \approx 8512,16\). Le capital acquis est d'environ 8512,16 €.
4. Résolution du seuil :
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(5000 \times 1,03^n > 10000\), ce qui revient à chercher \(1,03^n > 2\).
En utilisant la table de valeurs de la calculatrice :
Pour \(n = 23\) : \(1,03^{23} \approx 1,973\)
Pour \(n = 24\) : \(1,03^{24} \approx 2,032\)
Lisa aura donc 24 ans quand son capital dépassera les 10 000 euros.