Analyse du Sujet 64 - Première Spécialité Mathématiques (Session 2020)

Le sujet 64 de la session 2020 des Épreuves Communes de Contrôle Continu (E3C) offre un panorama complet et équilibré du programme de Première Spécialité Mathématiques. Ce sujet est particulièrement intéressant car il mobilise des compétences variées : de l'analyse graphique à la programmation Python, en passant par la géométrie analytique du cercle et les probabilités conditionnelles. Globalement, la difficulté est jugée moyenne, mais elle exige une grande rigueur dans l'application des formules fondamentales.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique (5 points)

Cet exercice de type QCM balaie plusieurs chapitres clés :

• Analyse Graphique et Dérivation : Les questions 1 et 2 testent la capacité de l'élève à faire le lien entre la pente d'une tangente et le nombre dérivé. Pour la question 1, il faut identifier le coefficient directeur de la droite T passant par A(-3, 3) et un autre point lisible. Pour la question 2, la méthode consiste à observer les variations de f : f est décroissante puis croissante, donc sa dérivée f' doit être négative puis positive.
• Trigonométrie : La question 3 demande la maîtrise des formules de réduction. Rappel : cos(x + π) = -cos(x) et sin(x + π/2) = cos(x). Le résultat est donc 0.
• Second Degré : La question 4 porte sur le signe d'un trinôme. Il faut trouver les racines de -2x² + 4x + 6 (ici -1 et 3) et appliquer la règle : le trinôme est du signe de 'a' à l'extérieur des racines.
• Exponentielle : La question 5 demande la dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv'. Avec u(x) = 2x-1 et v(x) = e^x, on obtient h'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x.

Pièges à éviter : Ne pas confondre la lecture de l'image f(x) et celle du nombre dérivé f'(x) sur un graphique.

Exercice 2 : Suites numériques et Algorithmique Python (5 points)

Le contexte du globe-trotter est une application classique des suites géométriques. Puisque la distance diminue de 2 % chaque jour, la raison de la suite est q = 1 - 0,02 = 0,98. C'est une suite géométrique de premier terme d1 = 50.

La partie Python est cruciale. L'élève doit compléter la boucle While. La condition d'arrêt est liée à l'objectif des 2000 km, donc tant que la somme S est inférieure à 2000 (While S < 2000:). Il ne faut pas oublier d'incrémenter le compteur de jours : j = j + 1.

L'utilisation du tableur en fin d'exercice permet de vérifier les calculs de somme. On observe que la somme dépasse 2000 au jour 80 (S = 2003). L'objectif est donc atteint le 80ème jour.

Exercice 3 : Géométrie repérée et Cercle (5 points)

La géométrie du cercle est souvent redoutée. La question 1 nécessite de partir de l'équation standard (x - xA)² + (y - yA)² = R² et de développer. Avec A(2, 5) et R = 5, on obtient (x-2)² + (y-5)² = 25, ce qui donne bien x² + y² - 4x - 10y + 4 + 25 = 25, soit x² + y² - 4x - 10y = -4.

La notion de tangente en un point B est fondamentale : la tangente est la droite passant par B perpendiculaire au rayon [AB]. On peut utiliser le produit scalaire pour trouver son équation : un point M(x, y) appartient à la tangente si le produit scalaire des vecteurs AB et BM est nul.

Conseil méthodologique : Pour l'intersection avec l'axe des ordonnées (question 5), il suffit de poser x = 0 dans l'équation du cercle et de résoudre l'équation du second degré en y résultante.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et Variables Aléatoires (5 points)

L'exercice commence par la construction d'un arbre pondéré. Il faut être attentif aux énoncés : "parmi ceux ayant pris la nationale..." définit une probabilité conditionnelle. La loi des probabilités totales est ensuite utilisée pour calculer la probabilité de l'événement contraire de D.

La dernière partie introduit une variable aléatoire liée au temps de trajet. C'est une application concrète de l'espérance mathématique E(X) = Σ pi * xi. L'élève doit calculer le temps total pour chaque branche de l'arbre (ex: Nationale + Départementale = 2h + 3,5h = 5,5h) et multiplier par la probabilité correspondante.

Interprétation de l'espérance : Elle représente le temps de trajet moyen que peut espérer un automobiliste sur un grand nombre de trajets identiques dans ces conditions.

Conclusion

Ce sujet 64 est un excellent test de fin d'année pour un élève de Première. Il couvre les piliers du programme (Analyse, Suites, Géométrie, Probabilités). Pour réussir, il est conseillé de bien maîtriser les propriétés des fonctions dérivées et la manipulation des suites géométriques sous forme d'algorithmes.