Introduction au Sujet 33 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 33 de la session 2020 des Épreuves Communes de Contrôle Continu (E3C) représente un excellent panorama des attentes du programme de Première Spécialité. Avec un équilibre parfait entre géométrie analytique, suites numériques, probabilités et analyse de fonctions, il teste à la fois la rigueur de calcul et la compréhension conceptuelle des élèves. Ce sujet est particulièrement intéressant pour sa transition entre les outils géométriques et les nouveaux concepts d'analyse comme la fonction exponentielle.

Exercice 1 : Géométrie Repérée et Produit Scalaire (QCM)

L'exercice 1 est un QCM de 5 points portant sur la géométrie repérée. Il balaie des notions fondamentales telles que les équations de droites, les vecteurs directeurs et normaux, ainsi que le produit scalaire.

Notions clés : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$ et un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$. La question 4 mobilise la condition d'orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, ce qui mène à une équation du premier degré en $x$.

Pièges à éviter : Ne confondez pas vecteur directeur et vecteur normal ! Dans la question 2, beaucoup d'élèves inversent les coordonnées. Soyez également vigilants sur le calcul du produit scalaire en coordonnées (question 5) : $xx' + yy'$. Une erreur de signe est vite arrivée.

Exercice 2 : Suites Géométriques et Algorithmique Python

Cet exercice modélise la croissance d'une spirale de segments. On passe d'une définition textuelle (augmentation de 150%) à une modélisation mathématique.

Analyse mathématique : Ajouter 150% de la longueur précédente signifie multiplier par $1 + 1,5 = 2,5$. Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = 2,5$. La formule du terme général est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Python et Algorithmie : La question 4 demande de compléter une boucle while. C'est un grand classique. La variable i doit être incrémentée (i = i + 1), u mis à jour (u = u * 1.5 ou plutôt u * 2.5 selon l'énoncé qui dit "ajoute 150%") et la longueur accumulée. Notez que l'énoncé dit "ajoute... 150% de la longueur du précédent", ce qui implique $u_{n+1} = 1.5 u_n$. Une lecture attentive est ici cruciale pour ne pas confondre "ajouter 150%" et "prendre 150%".

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice traite de la gestion de stock d'un libraire. Il s'appuie sur un arbre pondéré pour structurer les données.

Méthodologie : La formule des probabilités totales est le pivot de cet exercice (question 4). Elle permet de relier la probabilité globale de l'événement $S$ (être vendu) aux probabilités conditionnelles liées aux fournisseurs A et B. $P(S) = P(A \cap S) + P(B \cap S)$.

Conseils méthodologiques : Toujours vérifier que la somme des probabilités partant d'un même nœud est égale à 1. Pour la dernière question, on demande $P_S(B)$, c'est-à-dire une probabilité "inverse" (ou probabilité des causes). Elle se calcule par le quotient $\frac{P(B \cap S)}{P(S)}$.

Exercice 4 : Analyse de Fonctions et Exponentielle

Cet exercice final est le plus dense. Il utilise une fonction auxiliaire $g(x)$ pour étudier les variations d'une fonction $f(x)$ plus complexe contenant une exponentielle.

Dérivation : La dérivation de $g(x) = e^x - x + 1$ donne $g'(x) = e^x - 1$. L'étude de signe de $g'(x)$ montre que $g$ admet un minimum en $x=0$. Puisque ce minimum est $g(0) = 2$, la fonction $g$ est strictement positive. Cette information est cruciale pour l'étape suivante.

Lien entre $f$ et $g$ : La dérivée de $f$ fait apparaître $g(x)$ au numérateur. Comme $g(x) > 0$ et $e^x > 0$, on en déduit que $f'(x) > 0$, donc $f$ est strictement croissante. La tangente au point d'abscisse 0 utilise la formule $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$.

Conclusion

Ce sujet 33 est très complet. Il demande une bonne maîtrise des formules de dérivation et une aisance avec l'outil algorithmique. Pour réussir, l'élève doit être capable de faire des ponts entre les différents chapitres, notamment en utilisant le signe d'une fonction simple pour déterminer le sens de variation d'une fonction composée.