Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Première Enseignement Spécifique de la zone Asie (2026), propose une mise en situation concrète autour de l'univers des jeux vidéo. Il permet d'évaluer la maîtrise des suites numériques, pilier du programme de mathématiques de Première. L'énoncé est scindé en deux parties distinctes : la Partie A traite d'une croissance linéaire (suite arithmétique) pour les points d'expérience, tandis que la Partie B explore une croissance en pourcentage (suite géométrique) pour l'énergie magique.
Points de vigilance et notions de cours
- Modélisation : Identifier qu'un gain fixe (ex: +80 points) correspond à une suite arithmétique, tandis qu'une variation en pourcentage (+20%) renvoie à une suite géométrique.
- Coefficient multiplicateur : Pour une hausse de 20%, le coefficient est de $1 + \frac{20}{100} = 1,2$.
- Conversion d'unités : Dans la dernière question de la Partie B, il est crucial de convertir 0,6 litre en 60 centilitres pour comparer les valeurs de la suite $v_n$.
- Exploitation des données : Le sujet fournit une table d'aide aux calculs pour les puissances de 1,2, ce qui dispense de l'usage de la calculatrice pour les calculs complexes ou les logarithmes (non encore vus par tous).
Correction détaillée
Partie A : Gain d'expérience
1. Au niveau 0, le personnage a 20 points. Au niveau 1, il gagne 80 points supplémentaires. $20 + 80 = 100$. Il a donc 100 points au niveau 1.
2. Notons $u_n$ le nombre de points au niveau $n$. C'est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 20$ et de raison $r = 80$. On a $u_n = u_0 + n \times r$. Pour $n = 10$, $u_{10} = 20 + 10 \times 80 = 20 + 800 = 820$. On a bien $820 > 800$.
3. On cherche $n$ tel que $u_n = 2020$. Soit $20 + 80n = 2020$. En soustrayant 20 : $80n = 2000$. En divisant par 80 : $n = \frac{2000}{80} = 25$. Le personnage est au niveau 25.
Partie B : Gain d'énergie magique
1. L'énoncé précise qu'au niveau 0, le monstre rapporte 10 cl, d'où $v_0 = 10$.
2. Une augmentation de 20 % revient à multiplier par $1,2$. Donc, pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$, on multiplie par $1,2$, d'où $v_{n+1} = 1,2 v_n$.
3. La relation $v_{n+1} = q \times v_n$ définit une suite géométrique. La raison est $q = 1,2$ et le premier terme est $v_0 = 10$.
4. La forme explicite d'une suite géométrique est $v_n = v_0 \times q^n$. Ici, $v_n = 10 \times 1,2^n$.
5. a) $v_5 = 10 \times 1,2^5$. D'après l'aide au calcul, $1,2^5 = 2,48832$. Donc $v_5 = 10 \times 2,48832 = 24,8832 \approx 25$ cl. b) Cela signifie qu'au niveau 5, le monstre neutralisé rapporte environ 25 cl de potion.
6. On cherche $n$ tel que $v_n > 60$ (car 0,6 l = 60 cl). $10 \times 1,2^n > 60 \Leftrightarrow 1,2^n > 6$. En consultant la table, on voit que $1,2^9 \approx 5,16$ et $1,2^{10} \approx 6,19$. Le seuil est donc atteint à partir du niveau $n=10$.