Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, issu du sujet d'Amérique du Nord 2026, propose une étude comparative de deux modèles de croissance au travers des suites numériques. C'est une compétence fondamentale du programme de Première Enseignement Spécifique. L'élève doit être capable de traduire un phénomène d'évolution constante (arithmétique) et un phénomène d'évolution proportionnelle (géométrique) en langage mathématique. La confrontation des modèles avec des données réelles (les 355 marmottes en 2025) introduit une dimension critique essentielle en mathématiques appliquées.
Points de vigilance : Notions de cours requises
- Identifier la nature d'une suite : Si la variation est additive ($+r$), la suite est arithmétique. Si la variation est multiplicative ($ imes q$), elle est géométrique.
- Coefficients multiplicateurs : Une augmentation de $10\%$ correspond à multiplier par $(1 + 0,10) = 1,1$. Une erreur classique consiste à additionner $0,1$ directement.
- Indices et années : Bien vérifier la correspondance entre $n$ et l'année. Ici, $n=0$ correspond à 2019, donc 2025 correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$.
- Utilisation du tableur : L'exercice demande de savoir extraire des informations d'un tableau de valeurs généré par calculatrice ou tableur, notamment pour la résolution d'inéquations de type $v_n > A$.
Correction Détaillée et Guide de Résolution
Partie A : Modèle Arithmétique
1. La population augmente de 20 individus chaque année de manière fixe. On a donc la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 20$. La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 200$ et de raison $r = 20$.
2. Pour estimer la population en juin 2025 ($n=6$), on utilise la formule explicite : $u_n = u_0 + n \times r$.
$u_6 = 200 + 6 \times 20 = 200 + 120 = 320$. Selon ce modèle, on prévoit 320 marmottes.
3. En juin 2025, on compte réellement 355 individus. L'écart entre 320 et 355 est de 35 marmottes (environ $11\%$ d'erreur). Ce modèle sous-estime nettement la réalité, il n'est donc pas très adapté.
Partie B : Modèle Géométrique
1. Le taux d'évolution entre 2019 ($V_i = 200$) et 2020 ($V_f = 220$) se calcule par : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{220 - 200}{200} = \frac{20}{200} = 0,1$. La population a augmenté de 10 %.
2. a. Puisque la population augmente chaque année de $10\%$, on multiplie chaque terme par $1,1$. La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1,1$ et de premier terme $v_0 = 200$.
b. La forme explicite est $v_n = v_0 \times q^n$, soit $v_n = 200 \times 1,1^n$.
3. a. Par lecture du tableau fourni, pour $n=6$ (juin 2025), on lit $v(6) = 354$.
b. Puisque $354 \approx 355$, ce second modèle est particulièrement pertinent pour décrire l'évolution réelle observée.
c. On cherche l'année où $v_n > 400$. Dans la ligne 2 du tableau, on observe que $v(7) = 390$ et $v(8) = 429$. Le seuil est donc dépassé pour $n=8$. L'année correspondante est $2019 + 8 = 2027$.