Analyse Globale du Sujet 0 n°2 de Juin 2025

Ce sujet de l'épreuve anticipée de mathématiques pour la classe de Première Enseignement Spécifique (nouveau programme 2025) offre un panorama équilibré des compétences attendues en fin d'année. D'une difficulté modérée, il privilégie la clarté des concepts plutôt que la complexité calculatoire pure. Il se compose de trois grands axes : une partie consistante d'automatismes sous forme de QCM, une étude de suites numériques à travers un problème de croissance biologique, et une partie dédiée aux probabilités (tableau de contingence et arbres de probabilités).

Partie 1 : Automatismes (QCM)

Cette section est cruciale car elle teste la réactivité et la maîtrise des bases du collège et de la classe de Seconde, tout en introduisant des notions de Première.

• Notions clés : Calcul fractionnaire, proportionnalité, pourcentages, lecture de fonctions affines et de second degré.
• Pièges à éviter : Dans la Question 4, l'erreur classique consiste à retirer 10% du prix final (110 €) pour retrouver le prix initial. Il faut impérativement diviser par le coefficient multiplicateur (1,1). Pour la Question 12, la distinction entre moyenne et écart-type est fondamentale : deux séries peuvent avoir la même moyenne mais une dispersion totalement différente.
• Conseils : Pour le calcul du coefficient directeur (Question 6), appliquez rigoureusement la formule (yB - yA) / (xB - xA). Soyez attentifs aux unités dans la Question 5 (conversion de millilitres en litres).

Exercice 1 : Modélisation et Suites Numériques

L'exercice propose une comparaison très pédagogique entre croissance linéaire et croissance exponentielle via les suites arithmétiques et géométriques.

Analyse de la Partie A (Croissance Arithmétique)

On étudie une population de champignons dont l'accroissement est constant (25 champignons toutes les 10 minutes). C'est le cas typique d'une suite arithmétique. L'élève doit justifier le passage de u(n) à u(n+1) par l'addition d'une raison fixe r = 25.

Analyse de la Partie B (Croissance Géométrique)

Ici, le modèle change : la population double toutes les 40 minutes. On passe à une suite géométrique de raison q = 2.

• Graphiques : Le choix du graphique est un test de compréhension visuelle. Une suite géométrique de raison > 1 présente une courbe qui s'accentue (allure exponentielle), représentée ici par le Graphique 1. Le Graphique 3 représente une suite arithmétique.
• Application numérique : La question sur la cohérence au bout de 5 heures nécessite de calculer v(n) pour n = 7,5 (ou de raisonner par tranches). Puisque 5 heures = 300 minutes, et que chaque période dure 40 minutes, on cherche v(7,5). Si l'on prend v(7) = 100 * 2^7 = 12 800 et v(8) = 100 * 2^8 = 25 600, le chiffre de 18 000 est effectivement cohérent avec ce modèle de croissance rapide.

Exercice 2 : Probabilités et Conditionnement

L'exercice se divise en deux contextes classiques mais indispensables.

Partie A : Statistiques et Indépendance

L'utilisation du tableau de contingence permet de tester la lecture de données. La question sur l'indépendance des événements A et F est le point technique central. Rappelons que A et F sont indépendants si et seulement si P(A ∩ F) = P(A) × P(F).

• Méthodologie : Calculez d'abord les probabilités marginales (totaux des lignes et colonnes) avant de vérifier l'égalité.

Partie B : Répétition d'épreuves indépendantes

Le lancer d'une pièce truquée introduit la loi de Bernoulli répétée. La construction de l'arbre est la méthode la plus sûre pour ne pas oublier de branches.

• Astuce : Pour obtenir 'exactement une fois pile' sur trois lancers, il y a trois chemins possibles (PFF, FPF, FFP). Il faut sommer les probabilités de ces trois branches.

Conclusion et Conseils de Révision

Ce sujet 0 n°2 souligne l'importance de la modélisation. Il ne suffit plus de savoir calculer, il faut savoir quel modèle (arithmétique ou géométrique) s'applique à une situation réelle. Pour réussir, entraînez-vous à passer rapidement de l'énoncé textuel à l'écriture mathématique, particulièrement pour les probabilités conditionnelles qui sont souvent sources de confusion sémantique.