Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un classique de la partie automatismes du programme de Première Enseignement Spécifique. Il balaye un large spectre de compétences fondamentales allant du calcul numérique de base à la lecture graphique de fonctions et aux probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cette épreuve, plusieurs réflexes sont indispensables :

• Priorités opératoires : Ne pas confondre les multiplications et les soustractions (Question 1) et respecter l'ordre des puissances (Question 2).
• Calcul littéral : Maîtriser les identités remarquables $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et la règle du produit nul.
• Analyse graphique : Savoir déterminer le coefficient directeur d'une droite ($m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$) et lire des solutions d'inéquations sur une courbe.
• Probabilités : Utiliser la règle de la somme des branches partant d'un même nœud ($P(B) + P(\overline{B}) = 1$).

Correction Détaillée des Questions

Voici le raisonnement pour les points les plus techniques :

• Question 4 (Pourcentage) : Une baisse de $15\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - \frac{15}{100} = 0,85$. On multiplie donc la valeur initiale par $0,85$.
• Question 5 (Équation de droite) : La droite passe par $A(0;2)$ et $B(4;0)$. L'ordonnée à l'origine est $2$. Le coefficient directeur est $m = \frac{0-2}{4-0} = -0,5$. L'équation est $y = -0,5x + 2$.
• Question 9 (Équation produit nul) : $(2x+4)(-3x-9)=0$ implique $2x+4=0$ (soit $x=-2$) ou $-3x-9=0$ (soit $x=-3$). L'ensemble des solutions est $\{-3; -2\}$.
• Question 12 (Arbre de probabilités) : On sait que $P_A(B) = 0,3$. Comme la somme des probabilités issues de $A$ doit être égale à $1$, on a $P_A(\overline{B}) = 1 - 0,3 = 0,7$.