Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cette épreuve d'automatismes de la zone Polynésie 2026 balaye des compétences fondamentales du cycle terminal. L'objectif est d'évaluer la rapidité et la précision des élèves sur des notions de base qui sont pourtant le socle des chapitres plus complexes comme la dérivation ou les suites. L'épreuve ne demande aucune justification, mais nécessite une parfaite maîtrise du calcul numérique, de l'algèbre de base et de l'analyse graphique.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul fractionnaire : Respecter les priorités opératoires (multiplication avant soustraction).
• Développement algébrique : Maîtriser l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
• Proportionnalité : Savoir remonter à l'effectif total à partir d'un pourcentage ($X = \text{valeur} / \text{taux}$).
• Évolutions : Comprendre que des hausses successives se traduisent par une multiplication des coefficients multiplicateurs.
• Analyse graphique : Identifier l'ordonnée à l'origine et calculer le coefficient directeur d'une droite, ainsi qu'étudier les variations d'une parabole.

Correction détaillée des questions

Question 1 : $\frac{1}{3} \times \frac{6}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6}{15} - \frac{3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$. Réponse C.

Question 2 : $3x + 2 = -5x + 4 \iff 8x = 2 \iff x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Réponse C.

Question 3 : $(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$. Réponse D.

Question 4 : $5\%$ de l'effectif total est égal à 20. $0,05 \times T = 20 \iff T = \frac{20}{0,05} = 400$. Réponse B.

Question 5 : Durée $t = \frac{d}{v} = \frac{30}{60} = 0,5$ heure, soit 30 minutes. Réponse A.

Question 6 : Une hausse de $5\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1,05$. Après 3 ans, on obtient $1,05 \times 1,05 \times 1,05 = 1,05^3$. Réponse B.

Question 7 : La droite passe par $(0, -1)$, donc l'ordonnée à l'origine est $-1$. Pour un déplacement horizontal de 4, elle monte de 1, donc le coefficient directeur est $1/4$. Équation : $y = \frac{1}{4}x - 1$. Réponse B.

Question 8 : La parabole est tournée vers le bas avec un sommet en $x = 0,5$. Elle est donc croissante sur $]-\infty ; 0,5]$, ce qui inclut l'intervalle $[-2 ; 0]$. Réponse A.