Introduction au sujet Antilles 2026

Le sujet de la session 2026 pour la zone Antilles-Guyane s'inscrit parfaitement dans les attendus du programme de Première Spécialité Mathématiques. D'une difficulté équilibrée, il balaie un large spectre de compétences : de l'automatisation algébrique aux algorithmes Python, en passant par l'analyse fonctionnelle et les probabilités conditionnelles. L'examen est structuré en deux parties distinctes : une première partie sous forme de QCM (6 points) privilégiant les réflexes, et une seconde partie (14 points) composée de trois exercices approfondis demandant rigueur de rédaction et capacité de modélisation.

Analyse de la Première Partie : Automatismes

Le QCM de cette session 2026 teste les bases fondamentales. On y retrouve de la factorisation d'identités remarquables (différence de deux carrés), de la lecture graphique de signes, ainsi que des calculs de pourcentages. Pièges à éviter : Dans la question 5, l'erreur classique consiste à confondre les racines et le signe du coefficient dominant. Dans la question 6, rappelez-vous qu'une baisse de 50 % suivie d'une hausse de 40 % ne s'additionne pas (-10 %) mais se multiplie via les coefficients multiplicateurs ($0,5 \times 1,4 = 0,7$), ce qui correspond bien à une baisse de 30 %.

Exercice 1 : Suites Géométriques et Programmation Python

Cet exercice porte sur la dépréciation de la valeur d'un véhicule. C'est une application concrète des Suites.

• Notions clés : Passage du pourcentage au coefficient multiplicateur ($1 - 10/100 = 0,9$), reconnaissance d'une suite géométrique, et expression du terme général $u_n = u_0 \times q^n$.
• Algorithmique : La question Python demande de compléter une boucle while. Il faut être vigilant sur la condition d'arrêt : on cherche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < A$, donc tant que $u_n$ est supérieur ou égal à $A$, on continue.
• Conseil méthodologique : Utilisez l'aide au calcul fournie pour $0,9^n$ afin d'éviter des erreurs de calculatrice inutiles et gagner du temps sur la rédaction de la question 3b.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Variables Aléatoires

Le thème du cinéma permet d'évaluer la maîtrise des arbres pondérés et de la loi des probabilités totales.

• Notions clés : Calcul de l'intersection $P(A \cap J)$, vérification de la probabilité totale $P(J)$, et calcul de l'espérance $E(X)$.
• L'aspect critique : La question 4 demande une inversion de conditionnement. Pour calculer la probabilité d'être abonné sachant qu'on est jeune ($P_J(A)$), il faut utiliser la formule $P(A \cap J) / P(J)$. C'est souvent ici que les élèves perdent des points par confusion entre $P(A \cap J)$ et $P_J(A)$.
• Interprétation : L'espérance représente le prix moyen payé par spectateur sur un grand nombre d'entrées. C'est un indicateur économique majeur pour le cinéma.

Exercice 3 : Géométrie Repérée et Analyse (Exponentielle)

Cet exercice final est un vrai test de polyvalence.

• Géométrie : Pour prouver l'orthogonalité des droites (AB) et (AC), la méthode la plus rapide en Première reste le Produit Scalaire. On calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis on vérifie si $xx' + yy' = 0$.
• Analyse : L'étude de la fonction $f(x) = (3x - 1)e^x$ nécessite la règle de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$. L'exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ dépendra uniquement du facteur polynomial.
• Tangente : Rappel de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici, pour $a=0$, le calcul est simplifié mais demande de la précision sur les valeurs de $e^0$.

Conclusion et Méthodologie pour réussir

Pour réussir ce sujet 2026, l'élève doit maîtriser les outils calculatoires (puissances, fractions) dès la première partie. La rédaction de la seconde partie doit être soignée : chaque utilisation de formule (comme celle de la probabilité totale ou de la dérivée d'un produit) doit être explicitement citée. Ce sujet montre que la spécialité mathématiques demande une agilité constante entre le calcul pur, la logique algorithmique et l'interprétation concrète des résultats.