Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques porte sur deux piliers du programme : les suites numériques et l'algorithmique en Python. L'énoncé met en opposition deux types de suites : une suite \(u_n\) définie de manière explicite (fonction du rang \(n\)) et une suite \(v_n\) définie par récurrence (de type arithmético-géométrique). L'objectif est de comparer leur comportement, d'étudier leur monotonie grâce à la dérivation et d'interpréter un programme informatique simulant leur évolution.

Points de vigilance et notions requises

• Définitions des suites : Ne pas confondre le calcul direct pour \(u_n\) et le calcul pas à pas pour \(v_n\).
• Lien suite-fonction : Pour étudier la monotonie d'une suite explicite \(u_n = f(n)\), on étudie le signe de la dérivée \(f'(x)\) sur \([0 ; +\infty[\).
• Logique algorithmique : Dans une boucle while u < v, la sortie de boucle se produit dès que la condition devient fausse, c'est-à-dire dès que \(u \ge v\).
• Rigueur de calcul : Attention aux priorités opératoires lors du calcul des premiers termes, notamment pour \(v_n\).

Correction détaillée

1. Calcul des termes d'indice 3 :

• Pour \((u_n)\) : \(u_3 = \dfrac{8(3) - 4}{3 + 1} = \dfrac{24 - 4}{4} = \dfrac{20}{4} = 5\).
• Pour \((v_n)\) :
  • \(v_1 = 0,5 \times v_0 + 3,5 = 0,5 \times 0 + 3,5 = 3,5\).
  • \(v_2 = 0,5 \times v_1 + 3,5 = 0,5 \times 3,5 + 3,5 = 1,75 + 3,5 = 5,25\).
  • \(v_3 = 0,5 \times v_2 + 3,5 = 0,5 \times 5,25 + 3,5 = 2,625 + 3,5 = 6,125\).

2. Variations de la suite \((u_n)\) :

a) La fonction \(f\) est de la forme \(u/v\). On calcule sa dérivée : \(f'(x) = \dfrac{8(x+1) - 1(8x-4)}{(x+1)^2} = \dfrac{8x + 8 - 8x + 4}{(x+1)^2} = \dfrac{12}{(x+1)^2}\).
Comme \((x+1)^2 > 0\) et \(12 > 0\), alors \(f'(x) > 0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \([0 ; +\infty[\).

b) Puisque \(u_n = f(n)\), la croissance de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\) implique que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

3. Algorithme et interprétation :

L'algorithme utilise une boucle while u < v. Le programme s'arrête et renvoie la valeur de \(n\) dès que la condition n'est plus vérifiée. Si le programme renvoie 11, cela signifie que pour \(n=11\), on a \(u_{11} \ge v_{11}\).
L'affirmation de Camille était que \(u_n < v_n\) pour tout entier \(n\). Le programme prouve qu'il existe au moins un contre-exemple (\(n=11\)).
C'est donc Dominique qui a raison : l'affirmation est fausse car elle ne se vérifie pas pour tous les entiers naturels.