Analyse de l'énoncé

Cet exercice de géométrie plane est une application concrète du produit scalaire en Première Spécialité. Il modélise une situation de tir au football pour déterminer l'angle de tir d'un joueur. La situation s'appuie sur une configuration de points alignés (A, B, D) et une orthogonalité marquée au point D, ce qui suggère immédiatement l'utilisation de la décomposition de vecteurs par la relation de Chasles ou l'utilisation d'un repère orthonormé.

Points de vigilance et notions requises

• Orthogonalité : Savoir que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
• Décomposition vectorielle : Maîtriser l'introduction d'un point intermédiaire (Chasles) pour simplifier le calcul d'un produit scalaire.
• Calcul de longueurs : Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles pour obtenir les normes des vecteurs.
• Formule du cosinus : Utiliser la définition $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$ pour isoler l'angle.

Guide de résolution détaillé

1. Justification de l'orthogonalité :
Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$. Par définition, la droite $(TD)$ est perpendiculaire à la droite $(AD)$. Puisque les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés, la droite $(DB)$ est confondue avec la droite $(AD)$. Ainsi, $(TD)$ est perpendiculaire à $(DB)$, ce qui implique que les vecteurs $\vec{TD}$ et $\vec{DB}$ sont orthogonaux. Leur produit scalaire est donc nul : $\vec{TD} \cdot \vec{DB} = 0$.

2. Démonstration de $\vec{TA} \cdot \vec{TB} = 470,88$ :
On utilise la relation de Chasles en passant par le point $D$ :
$\vec{TA} \cdot \vec{TB} = (\vec{TD} + \vec{DA}) \cdot (\vec{TD} + \vec{DB})$
En développant : $\vec{TA} \cdot \vec{TB} = \vec{TD}^2 + \vec{TD} \cdot \vec{DB} + \vec{DA} \cdot \vec{TD} + \vec{DA} \cdot \vec{DB}$
Comme $\vec{TD} \perp \vec{DB}$ et $\vec{TD} \perp \vec{DA}$, les deux produits scalaires intermédiaires sont nuls. Il reste :
$\vec{TA} \cdot \vec{TB} = TD^2 + DA \times DB$ (car $\vec{DA}$ et $\vec{DB}$ sont colinéaires de même sens).
$TD = 18$, $DB = 9$, $DA = AB + BD = 7,32 + 9 = 16,32$.
$\vec{TA} \cdot \vec{TB} = 18^2 + 16,32 \times 9 = 324 + 146,88 = 470,88$.

3. Calcul de l'angle $\widehat{ATB}$ :
On calcule d'abord les normes :
$TA = \sqrt{TD^2 + DA^2} = \sqrt{18^2 + 16,32^2} \approx 24,297$
$TB = \sqrt{TD^2 + DB^2} = \sqrt{18^2 + 9^2} = \sqrt{405} \approx 20,125$
On utilise $\cos(\widehat{ATB}) = \frac{\vec{TA} \cdot \vec{TB}}{TA \times TB} = \frac{470,88}{24,297 \times 20,125} \approx 0,963$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat{ATB} \approx 15,6^\circ$.