Analyse de l'énoncé : Modélisation par une suite
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'application concrète des suites géométriques dans un contexte économique (soldes/liquidation). L'enjeu est de traduire une variation en pourcentage par un coefficient multiplicateur et d'utiliser l'outil informatique (Python) pour résoudre un problème de seuil.
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Une diminution de 10 % correspond à multiplier par (1 - 10/100), soit 0,9. C'est l'erreur la plus fréquente : confondre soustraction et multiplication.
- Nature de la suite : Puisque l'on multiplie chaque terme par un nombre constant pour obtenir le suivant, la suite est géométrique.
- Algorithmique (Python) : Dans une boucle
while (tant que), la condition doit être celle qui permet de continuer la recherche. Si l'on cherche quand le prix devient inférieur à x, on boucle tant que le prix est supérieur ou égal à x.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes
On a \(u_0 = 200\).
Pour \(u_1\) : \(200 \times 0,9 = 180\).
Pour \(u_2\) : \(180 \times 0,9 = 162\).
2. Nature et expression de la suite
Le prix baisse de 10 % chaque semaine, donc \(u_{n+1} = u_n \times (1 - 0,10) = 0,9u_n\).
La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 200\) et de raison \(q = 0,9\).
L'expression du terme général est : \(u_n = u_0 \times q^n = 200 \times 0,9^n\).
3. Prix après 12 semaines
On calcule \(u_{12} = 200 \times 0,9^{12} \approx 56,486\).
Le prix arrondi au centime est donc 56,49 €.
4. Complétion de l'algorithme Python
Voici la fonction complétée :
def seuil(x):
u = 200
n = 0
while u >= x:
u = u * 0.9
n = n + 1
return n
5. Résolution du problème de seuil
On cherche \(n\) tel que \(u_n < 100\).
À l'aide de la calculatrice :
\(u_6 = 200 \times 0,9^6 \approx 106,29\)
\(u_7 = 200 \times 0,9^7 \approx 95,66\)
La personne devra donc attendre 7 semaines.