Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des mathématiques de Première Spécialité. Il combine la géométrie dans l'espace (calcul de volume) avec l'analyse de fonctions (dérivation). L'objectif est d'optimiser le volume d'une boîte sans couvercle fabriquée par pliage. La difficulté réside dans le passage de la situation géométrique à l'expression algébrique du polynôme, puis dans l'utilisation rigoureuse de la dérivée pour trouver un extremum.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, vous devez maîtriser les points suivants :

• Modélisation : Comprendre que le volume d'un pavé droit est $V = L \times l \times h$. Ici, la hauteur est $x$, la longueur $24-2x$ et la largeur $18-2x$.
• Domaine de définition : L'intervalle $[0 ; 9]$ s'explique par le fait que la largeur $18-2x$ doit être positive, soit $x \leq 9$.
• Dérivation : Appliquer les formules $(x^n)' = nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
• Signe de la dérivée : Étudier un trinôme du second degré à l'aide du discriminant $\Delta$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Justification du volume :
La boîte a pour base un rectangle de dimensions $(24-2x)$ et $(18-2x)$. Sa hauteur est $x$.
$V(x) = x(24-2x)(18-2x) = x(432 - 48x - 36x + 4x^2) = x(4x^2 - 84x + 432) = 4x^3 - 84x^2 + 432x$.

2. Calcul de la dérivée :
$V'(x) = 4 \times 3x^2 - 84 \times 2x + 432 = 12x^2 - 168x + 432$.

3. Tableau de variations :
Cherchons les racines de $V'(x) = 0$. On peut simplifier par 12 : $x^2 - 14x + 36 = 0$.
$\Delta = (-14)^2 - 4(1)(36) = 196 - 144 = 52$.
Les racines sont $x_1 = \frac{14 - \sqrt{52}}{2} = 7 - \sqrt{13} \approx 3,39$ et $x_2 = 7 + \sqrt{13} \approx 10,61$.
Seule $x_1$ appartient à $[0 ; 9]$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif (12), la dérivée est positive à l'extérieur des racines. Sur $[0 ; 9]$, $V'(x)$ est positive sur $[0 ; 7-\sqrt{13}[$ et négative sur $]7-\sqrt{13} ; 9]$. La fonction $V$ est donc croissante puis décroissante.

4. Optimisation :
Le volume est maximal pour $x = 7 - \sqrt{13}$ cm (environ 3,39 cm).

5. Seuil de contenance :
En calculant le maximum $V(7-\sqrt{13})$, on trouve environ 654,6 cm³. Comme $654,6 > 650$, l'industriel peut effectivement construire une boîte de plus de 650 cm³.