Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet 16 du bac de Première Spécialité 2020, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à cinq questions indépendantes. Il balaie des notions fondamentales du programme : la géométrie vectorielle (produit scalaire), l'analyse fonctionnelle (dérivation), et la géométrie analytique (équations de cercle et de droites).

Points de vigilance et notions de cours

• Produit scalaire : Rappelez-vous la formule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\). Attention au sens des vecteurs.
• Dérivation : Le nombre dérivé \(f'(a)\) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
• Cercle : L'équation d'un cercle de centre \(C(x_C; y_C)\) et de rayon \(R\) est \((x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2\).
• Vecteur normal : Pour une droite d'équation \(ax + by + c = 0\), un vecteur normal est \(\vec{n}(a; b)\).

Correction détaillée

Question 1 : On utilise les vecteurs \(\vec{FE}\) et \(\vec{FG}\). L'angle \(\widehat{EFG}\) est de \(\frac{3\pi}{4}\). Le produit scalaire est \(FE \times FG \times \cos(\frac{3\pi}{4}) = 8 \times 5 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -20\sqrt{2}\). La réponse correcte est la b.

Question 2 : \(f'(0)\) est la pente de la tangente au point d'abscisse 0. La droite passe par \(A(0; 2)\) et \((2; 0)\). Sa pente est \(m = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1\). La réponse correcte est la b.

Question 3 : Avec \(B(2; 3)\) et \(R=4\), l'équation est \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2\), soit \(16\). La réponse correcte est la c.

Question 4 : Graphiquement, on cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe et la droite horizontale \(y = -3\). On observe que cela se produit pour \(x = 0\) et \(x = 1\). La réponse correcte est la d.

Question 5 : L'équation est \(-3x - 2y + 5 = 0\). Un vecteur normal est \(\vec{n}(-3; -2)\). Tout vecteur colinéaire est aussi normal. En multipliant par -1, on obtient \(\vec{n}(3; 2)\). La réponse correcte est la d.