Introduction au Sujet 48 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 48 de la session 2020 pour la Première Spécialité Mathématiques est un excellent support de révision pour les élèves souhaitant consolider leurs acquis sur le programme de 1ère. Ce sujet se distingue par son équilibre entre l'analyse fonctionnelle, les suites numériques et les probabilités conditionnelles. La difficulté globale est estimée comme moyenne, mais elle requiert une excellente maîtrise des formules de dérivation et une rigueur dans l'application des probabilités totales.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice balaye des notions fondamentales sous forme de questionnaire à choix multiples. Il ne faut pas se précipiter, car chaque question teste un point précis du programme.

• Notions clés : Équation de tangente, cercle trigonométrique, paraboles du second degré, vecteurs normaux et suites arithmétiques.
• Pièges à éviter : Dans la question sur la tangente, ne confondez pas le coefficient directeur (la pente) avec l'ordonnée à l'origine. Pour la trigonométrie, faites attention au sens de rotation sur le cercle : le point A se trouve dans le troisième quadrant, ce qui implique une valeur de $-2\pi/3$.
• Conseils méthodologiques : Pour la question sur la droite $x - 2y = 1$, rappelez-vous qu'une équation de la forme $ax + by + c = 0$ donne un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$. Ici, $\vec{n}(1; -2)$.

Exercice 2 : Analyse et Exponentielle

L'exercice porte sur l'étude d'une fonction de coût de production faisant intervenir la fonction exponentielle. C'est un grand classique des épreuves de spécialité.

Analyse de la fonction de coût

La fonction $C(x) = (5x - 2)e^{-0,2x} + 2$ modélise un coût total. La question 2 demande de calculer la dérivée (coût marginal). Vous devez utiliser la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, $u(x) = 5x - 2$ et $v(x) = e^{-0,2x}$.

Pièges et Astuces

L'erreur classique réside dans l'oubli de la règle de dérivation de $e^{ax}$, qui est $a e^{ax}$. Ici, la dérivée de $e^{-0,2x}$ est $-0,2e^{-0,2x}$. Une fois la dérivée simplifiée, vous obtenez $C_m(x) = (-x + 5,4)e^{-0,2x}$. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de la dérivée dépend uniquement du facteur $(-x + 5,4)$.

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python

Cet exercice traite de l'évolution du nombre de diabétiques en France à l'aide d'un modèle de croissance géométrique.

• Notions : Augmentation en pourcentage, suites géométriques, algorithme de seuil.
• Analyse du modèle : Une hausse de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de $1,02$. La suite est donc géométrique de raison $q = 1,02$ et de premier terme $u_0 = 3\,300\,000$.
• Le script Python : L'algorithme fourni est un algorithme de seuil. La console renvoie 21, ce qui signifie qu'en $2019 + 21 = 2040$, le nombre de personnes atteintes dépassera les 5 millions selon ce modèle. Notez l'erreur de frappe dans le code LaTeX fourni ($33000$ au lieu de $3300000$), un point sur lequel un élève attentif doit rester critique.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice met en scène des portiques de sécurité dans un aéroport, un cas pratique pour les probabilités conditionnelles.

Construction de l'arbre

Il est impératif de bien identifier les probabilités données. $P(M) = 1/500 = 0,002$. La probabilité que le portique sonne sachant qu'un objet est présent est $P_M(S) = 0,95$. L'arbre pondéré permet de visualiser les quatre issues possibles.

Probabilités totales et Indépendance

La question 3 demande de calculer $P(S)$ via la formule des probabilités totales : $P(S) = P(M \cap S) + P(\overline{M} \cap S)$. Enfin, pour vérifier l'indépendance de $M$ et $S$, comparez $P_M(S)$ et $P(S)$. Si elles sont différentes (ce qui est le cas ici), les événements ne sont pas indépendants.

Conclusion

Ce sujet 48 est très complet. Il permet de réviser la rigueur de l'analyse fonctionnelle alliée à l'exponentielle, ainsi que la manipulation des suites et des probabilités. Pour réussir, concentrez-vous sur la précision des dérivées et l'interprétation concrète des résultats (notamment pour le coût marginal et le seuil de population).