Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité, issu du sujet Antilles 2026, est un Vrai/Faux classique qui balaie deux piliers majeurs du programme : la géométrie repérée (via le produit scalaire) et l'analyse de fonctions (mêlant dérivation et fonction exponentielle). L'objectif est d'évaluer la capacité de l'élève à justifier rigoureusement des affirmations géométriques et analytiques.

Points de vigilance et notions requises

• Produit scalaire : Pour tester la perpendicularité de deux droites (AB) et (AC), il faut calculer le produit scalaire des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Les droites sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.
• Dérivation d'un produit : La fonction $f(x) = (3x - 1)e^x$ est de la forme $u \times v$. Sa dérivée s'obtient par la formule $f' = u'v + uv'$.
• Monotonie : Le signe de la dérivée détermine les variations de la fonction. Ici, le signe de $e^x$ étant toujours positif, tout repose sur le facteur affine.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue sur le bout des doigts.

Correction détaillée

Question 1 : Perpendicularité

Calculons les coordonnées des vecteurs :
$\vec{AB} \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{AC} \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Le produit scalaire est : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6$.
Comme le produit scalaire est différent de 0, les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Affirmation fausse.

Question 2.a : Variations de f

Posons $u(x) = 3x - 1$ donc $u'(x) = 3$.
Posons $v(x) = e^x$ donc $v'(x) = e^x$.
$f'(x) = 3e^x + (3x - 1)e^x = e^x(3 + 3x - 1) = (3x + 2)e^x$.
Puisque $e^x > 0$, $f'(x)$ est du signe de $3x + 2$.
$3x + 2 > 0 \iff x > -2/3$.
La fonction est décroissante sur $]-\infty ; -2/3]$ et croissante sur $[-2/3 ; +\infty[$. Elle n'est donc pas croissante sur $\mathbb{R}$. Affirmation fausse.

Question 2.b : Équation de la tangente

Calculons $f(0)$ et $f'(0)$ :
$f(0) = (3 \times 0 - 1)e^0 = -1 \times 1 = -1$.
$f'(0) = (3 \times 0 + 2)e^0 = 2 \times 1 = 2$.
L'équation de la tangente est $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x - 1$. Affirmation vraie.